IllustrationEdit
Jalkapallon rangaistuspotkussa potkaisijan on valittava, potkaiseeko hän maalin oikealle vai vasemmalle puolelle, ja samaan aikaan maalivahdin on päätettävä, kumpaan suuntaan hän torjuu. Lisäksi potkaisijalla on suunta, johon hän ampuu parhaiten, eli vasemmalle, jos hän on oikeajalkainen. Jalkapallopelin matriisi havainnollistaa tätä tilannetta, joka on yksinkertaistettu muoto Chiapporin, Levittin ja Groseclosen (2002) tutkimasta pelistä. Siinä oletetaan, että jos maalivahti arvaa oikein, potku estetään, jolloin molempien pelaajien perusvoitto on 0. Jos maalivahti arvaa väärin, potku menee todennäköisemmin sisään, jos se on vasemmalle (voittoprosentti potkaisijalle +2 ja maalivahdille -2) kuin jos se on oikealle (pienempi voittoprosentti potkaisijalle +1 ja maalivahdille -1).
| Goalie | |||
| Leveä vasen | Leveä oikea | ||
| Potkaisija | Potkaisija vasen | 0, 0 | +2, -2 |
| Potku oikealle | +1, -1 | 0, 0 | |
| Jalkapallo-ottelun voitto (Kicker, Goalie) | |||
Tässä pelissä ei ole puhtaan strategian tasapainoa, koska jompikumpi pelaaja poikkeaisi mistä tahansa strategiaprofiilista – esimerkiksi (Vasen, Vasen) ei ole tasapaino, koska potkaisija poikkeaisi oikealle ja kasvattaisi voittonsa 0:sta 1:een.
Potkijan sekastrategiatasapaino löytyy siitä, että hän poikkeaa satunnaistamisesta, elleivät hänen voittonsa vasemmanpuoleisesta potkusta ja oikeanpuoleisesta potkusta ole täsmälleen samat. Jos maalivahti kallistuu vasemmalle todennäköisyydellä g, potkaisijan odotettu voitto vasemmanpuoleisesta potkusta on g(0) + (1-g)(2) ja oikeanpuoleisesta potkusta g(1) + (1-g)(0). Yhtälöittämällä nämä saadaan g= 2/3. Vastaavasti maalivahti on halukas satunnaistamaan vain, jos potkaisija valitsee sekastrategian todennäköisyydellä k siten, että Lean Leftin voitto k(0) + (1-k)(-1) on yhtä suuri kuin Lean Rightin voitto k(-2) + (1-k)(0), joten k = 1/3. Näin ollen sekastrategian tasapaino on (Prob(Kick Left) = 1/3, (Prob(Lean Left) = 2/3).
Huomaa, että tasapainossa potkaisija potkaisee parhaalle puolelleen vain 1/3 ajasta. Tämä johtuu siitä, että maalivahti vartioi tuota puolta enemmän. Huomaa myös, että tasapainossa potkaisija on välinpitämätön, kumpaan suuntaan hän potkaisee, mutta jotta se olisi tasapaino, hänen on valittava tasan 1/3 todennäköisyydellä.
Chiappori, Levitt ja Groseclose yrittävät mitata, kuinka tärkeää potkaisijan on potkaista suosimalleen puolelle, lisäävät siihen vielä keskityspotkut yms. ja tarkastelevat, kuinka ammattilaispelaajat todellisuudessa käyttäytyvät. He havaitsevat, että he satunnaistavat, ja että potkaisijat potkaisevat suosimalleen puolelle 45% ajasta ja maalivahdit kallistuvat sille puolelle 57% ajasta. Heidän artikkelinsa on tunnettu esimerkkinä siitä, miten ihmiset tosielämässä käyttävät sekastrategioita, vaikka eivät ole matemaattisesti kehittyneitä.
MerkitysEdit
John Forbes Nash osoitti kuuluisassa artikkelissaan, että jokaiselle äärelliselle pelille on olemassa tasapaino. Nashin tasapainot voidaan jakaa kahteen tyyppiin. Puhtaiden strategioiden Nash-tasapainot ovat Nash-tasapainoja, joissa kaikki pelaajat pelaavat puhtaita strategioita. Sekastrategiset Nash-tasapainot ovat tasapainotiloja, joissa ainakin yksi pelaaja pelaa sekastrategiaa. Vaikka Nash osoitti, että jokaisella äärellisellä pelillä on Nash-tasapaino, kaikilla ei ole puhtaan strategian Nash-tasapainoja. Esimerkki pelistä, jolla ei ole Nash-tasapainoa puhtailla strategioilla, on kohdassa Matching pennies. Monilla peleillä on kuitenkin puhtaan strategian Nash-tasapaino (esim. koordinaatiopeli, vangin dilemma, hirvenmetsästys). Lisäksi peleillä voi olla sekä puhtaan strategian että sekastrategian tasapainotiloja. Helppo esimerkki on puhdas koordinaatiopeli, jossa puhtaiden strategioiden (A,A) ja (B,B) lisäksi on olemassa sekatasapaino, jossa molemmat pelaajat pelaavat kumpaakin strategiaa todennäköisyydellä 1/2.
Tulkintoja sekastrategioistaEdit
Kahdeksankymmentäluvulla sekastrategioiden käsite joutui ankaran arvostelun kohteeksi, koska se on ”intuitiivisesti ongelmallinen”, koska ne ovat heikkoja Nashin tasapainoja, ja pelaaja on välinpitämätön sen suhteen, noudattaako hän tasapainostrategiansa todennäköisyydellä vai poikkeaako hän jollakin muulla todennäköisyydellä. peliteoreetikko Ariel Rubinstein kuvailee vaihtoehtoisia tapoja hahmottaa käsite. Ensimmäistä, Harsanyille (1973) perustuvaa tapaa kutsutaan puhdistukseksi, ja siinä oletetaan, että sekastrategioiden tulkinta vain heijastaa tietämättömyyttämme pelaajien informaatiosta ja päätöksentekoprosessista. Näennäisesti satunnaiset valinnat nähdään tällöin määrittelemättömien, voiton kannalta merkityksettömien ulkoisten tekijöiden seurauksina.Toinen tulkinta kuvittelee, että pelin pelaajat edustavat suurta agenttipopulaatiota. Jokainen agentti valitsee puhtaan strategian, ja voitto riippuu kunkin strategian valinneiden agenttien osuudesta. Sekastrategia edustaa siis kunkin populaation valitsemien puhtaiden strategioiden jakaumaa. Tämä ei kuitenkaan anna mitään perusteluja tapaukselle, jossa pelaajat ovat yksittäisiä agentteja.
Myöhemmin Aumann ja Brandenburger (1995) tulkitsivat Nashin tasapainon uudelleen uskomusten eikä toiminnan tasapainoksi. Esimerkiksi kivi-paperi-sakset-ottelussa uskomuksiin perustuvassa tasapainossa kumpikin pelaaja uskoo, että toinen pelaaja pelaa yhtä todennäköisesti kutakin strategiaa. Tämä tulkinta kuitenkin heikentää Nashin tasapainon kuvausvoimaa, sillä tällaisessa tasapainossa on mahdollista, että kumpikin pelaaja todella pelaa jokaisella pelikerralla puhdasta strategiaa Kallio-sakset, vaikka ajan mittaan todennäköisyydet ovat sekastrategian todennäköisyyksiä.
KäyttäytymisstrategiaMuutos
Vaikka sekastrategia antaa todennäköisyysjakauman puhtaille strategioille, niin käyttäytymisstrategia antaa jokaisella informaatiojoukolla todennäköisyysjakauman mahdollisten toimintojen joukolle. Vaikka nämä kaksi käsitettä liittyvät hyvin läheisesti toisiinsa normaalimuodon pelien yhteydessä, niillä on hyvin erilaiset seuraukset ekstensiivimuodon peleissä. Karkeasti sanottuna sekastrategia valitsee satunnaisesti deterministisen polun pelipuun läpi, kun taas käyttäytymisstrategia voidaan nähdä stokastisena polkuna.
Sekastrategioiden ja käyttäytymisstrategioiden välisestä suhteesta esitetään Kuhnin teoreema, joka on käyttäytymistieteellinen näkökulma perinteisiin peliteoreettisiin hypoteeseihin. Tulos osoittaa, että missä tahansa äärellisessä laajamittaisessa pelissä, jossa on täydellinen muistaminen, mille tahansa pelaajalle ja mille tahansa sekastrategialle on olemassa käyttäytymisstrategia, joka kaikkia (muiden pelaajien) strategioiden profiileja vastaan saa aikaan saman jakauman päätepisteiden solmuihin kuin sekastrategia. Myös käänteinen pätee.
Kuuluisa esimerkki siitä, miksi täydellinen muistaminen vaaditaan ekvivalenssille, on Piccione ja Rubinsteinin (1997) esittämä Absent-Minded Driver -peli.