Lorsque vous pensez à un vecteur, beaucoup de gens appellent probablement la définition de Vector (de Despicable Me). Il dit :
C’est un terme mathématique. Une quantité représentée par une flèche ayant à la fois une direction et une magnitude. Vecteur ! C’est moi… parce que je commets des crimes avec à la fois la direction et la magnitude ! Oh ouais!
Ok, mais vraiment. Qu’est-ce qu’un vecteur ? J’aime la définition suivante (et c’est celle que je donne aux étudiants en classe).
Vecteur : une quantité avec plus d’un élément (plus d’une information).
Ce n’est pas la meilleure définition, mais elle est meilleure que « magnitude et direction ». Peut-être que la meilleure façon de comprendre les vecteurs est de regarder quelques exemples. Supposons que je sois dans une pièce et que je me déplace à différents endroits pour mesurer la température. La température à un endroit particulier ne comporte qu’un seul élément (comme 22° C). Comme la température ne comporte qu’un seul élément d’information, nous l’appelons un scalaire. D’autres exemples de scalaires seraient : la masse, la charge électrique, la puissance, la différence de potentiel électrique.
Supposons maintenant que je me déplace à différents endroits de la pièce afin de déterminer le flux d’air. À chaque endroit, l’air peut se déplacer dans trois directions différentes (x, y, z). Ainsi, pour mesurer réellement la vitesse de l’air à chaque endroit, j’aurais besoin de 3 éléments. Nous appelons cette vitesse de l’air un vecteur (un vecteur tridimensionnel) car elle comporte trois éléments d’information. D’autres exemples de vecteurs seraient : les forces, les champs électriques, l’accélération, le déplacement.
Peut-on avoir des vecteurs avec plus ou moins de 3 éléments ? Oui. Dans les cours d’introduction à la physique, il est courant de juste regarder les vecteurs avec seulement 2 dimensions (x et y) juste pour rendre les choses plus simples. Cependant, les vecteurs peuvent avoir 4 ou 5 dimensions, voire plus. Le seul problème avec les vecteurs d’ordre supérieur est qu’il est plus difficile de les visualiser dans un espace tridimensionnel.
Le vecteur zéro
Voici le vrai problème avec la définition « magnitude et direction » d’un vecteur–le vecteur zéro. Supposons que vous vouliez représenter un déplacement en 2 dimensions. Si vous partez de l’origine et vous déplacez de 3 mètres dans la direction x et de -2 dans la direction y, vous pourriez écrire cela comme:
Si vous le vouliez, vous pourriez trouver la magnitude de ce déplacement vectoriel avec une valeur de 3,61 mètres. Vous pourriez également trouver la « direction » de ce vecteur et dire qu’il est à 33,7° sous l’axe des x. Mais que faire si vous voulez représenter le déplacement qui ne va nulle part ? Je pourrais facilement écrire cela comme le vecteur suivant :
Puis-je trouver la magnitude de ce vecteur ? Oui, il est très facile de voir que le vecteur a une magnitude de zéro mètre. Qu’en est-il de la direction ? Eh bien, si le déplacement n’est pas allé quelque part, vous ne pouvez pas vraiment dire dans quelle direction il est allé. La meilleure réponse est de dire que la direction est indéfinie. Voici donc le cas d’un déplacement de magnitude nulle et de direction indéfinie. S’agit-il d’un vecteur ? Absolument. Suis-je juste pointilleux sur la définition d’un vecteur ? Probablement.
Le vecteur zéro en physique réelle
Le vecteur zéro n’est pas zéro. Juste pour être clair, je peux écrire les deux équations suivantes :
Ce sont des quantités différentes. Vous ne pouvez pas mettre une quantité vectorielle égale à une quantité scalaire. Vous ne pouvez tout simplement pas le faire. Cependant, cela arrive. Cette équation était dans un texte d’introduction à la physique très récent. Voici exactement comment l’équation était affichée dans le texte.
Le manuel essayait de montrer l’idée d’un objet en équilibre. En équilibre, la force totale sur l’objet est le vecteur zéro. Cependant, cette équation dit que la somme totale des forces vectorielles est juste égale à zéro (le scalaire). Oh, peut-être qu’ils utilisent 0 pour représenter le vecteur zéro ? Ce serait une explication plausible s’ils n’utilisaient pas de flèches pour représenter d’autres vecteurs. Non, le vecteur zéro est toujours un vecteur. La meilleure façon de montrer cette équation serait:
Dans cette version, il y a un vecteur égal à un vecteur. C’est mieux.
Laissez-moi terminer avec deux notes. Premièrement, j’ai déjà parlé des vecteurs auparavant. L’un de mes posts préférés est cette réponse à Khan Academy sur les vecteurs. Essentiellement, c’est la deuxième partie d’une discussion sur la résolution de problèmes de cinématique dans laquelle je soutiens que vous pouvez toujours utiliser des vecteurs même si c’est un problème unidimensionnel. Deuxièmement, si vous voulez définir des vecteurs égaux au vecteur zéro, assurez-vous de l’appeler le vecteur zéro et pas seulement « zéro ».