Amikor a vektorra gondolsz, sokaknak valószínűleg Vector definíciója jut eszébe (a Despicable Me-ből). Azt mondja:
Ez egy matematikai kifejezés. Egy nyíllal ábrázolt mennyiség, amelynek iránya és nagysága is van. Vektor! Ez én vagyok— mert én mind irányban, mind nagyságban bűnöket követek el! Ó, igen!
Oké, de tényleg. Mi az a vektor? Nekem a következő definíció tetszik (és ezt a definíciót adom a diákoknak az órán):
Vektor: egynél több elemmel (egynél több információval) rendelkező mennyiség.
Ez nem a legjobb definíció, de jobb, mint a “nagyság és irány”. Talán a vektorok megértésének legjobb módja, ha megnézünk néhány példát. Tegyük fel, hogy egy szobában vagyok, és különböző helyekre megyek, hogy megmérjem a hőmérsékletet. Egy adott helyen a hőmérsékletnek csak egy eleme van (például 22 °C). Mivel a hőmérséklet csak egy információval rendelkezik, skalárnak nevezzük. Más példák a skalárokra: tömeg, elektromos töltés, teljesítmény, elektromos potenciálkülönbség.
Tegyük fel, hogy a szoba különböző pontjaira megyek, hogy meghatározzam a levegő áramlását. Minden egyes helyen a levegő három különböző irányban (x,y,z) mozoghat. Tehát ahhoz, hogy valóban megmérjem a levegő sebességét minden egyes helyen, 3 elemre lenne szükségem. Ezt a levegő sebességét vektornak (3 dimenziós vektornak) nevezzük, mert három információval rendelkezik. Más példák a vektorokra: erők, elektromos mezők, gyorsulás, elmozdulás.
Lehetnek 3-nál több vagy kevesebb elemű vektorok? Igen. A bevezető fizikaórákon gyakran előfordul, hogy csak 2 dimenzióval (x és y) rendelkező vektorokat vizsgálnak, csak hogy egyszerűbbé tegyék a dolgokat. Emellett lehetnek 4 vagy 5 vagy akár több dimenziójú vektorok is. Az egyetlen probléma a magasabb rendű vektorokkal az, hogy nehezebb megjeleníteni őket a háromdimenziós térben.
A nullvektor
Itt van az igazi probléma a vektor “nagyság és irány” definíciójával–a nullvektor. Tegyük fel, hogy egy elmozdulást akarunk ábrázolni 2 dimenzióban. Ha az origóból indulunk ki, és x irányban 3 métert, y irányban pedig -2 métert mozdulunk el, akkor ezt így írhatnánk le:
Ha akarnánk, akkor ennek a vektoros elmozdulásnak a nagyságát 3,61 méteres értékkel találhatnánk meg. Megkereshetnéd ennek a vektornak az “irányát” is, és azt mondhatnád, hogy 33,7°-kal az x-tengely alatt van. De mi van akkor, ha azt az elmozdulást akarod ábrázolni, ami nem megy sehova? Ezt könnyen felírhatnám a következő vektorként:
Megtalálom ennek a vektornak a nagyságát? Igen, nagyon könnyen megállapítható, hogy a vektor nagysága nulla méter. Mi a helyzet az irányával? Nos, ha az elmozdulás valójában nem ment sehova, akkor nem igazán lehet megmondani, hogy milyen irányban volt. A legjobb válasz az, ha azt mondjuk, hogy az irány meghatározatlan. Íme tehát egy olyan elmozdulás esete, amelynek nagysága nulla, iránya pedig meghatározatlan. Ez egy vektor? Abszolút. Csak nem vagyok válogatós a vektor definícióját illetően? Valószínűleg.
A nullvektor a tényleges fizikában
A nullvektor nem nulla. Csak hogy világos legyen, fel tudom írni a következő két egyenletet:
Ezek különböző mennyiségek. Egy vektormennyiséget nem lehet skalármennyiséggel egyenlővé tenni. Egyszerűen nem teheted meg. Ennek ellenére előfordul. Ez az egyenlet egy nagyon friss bevezető fizikatankönyvben szerepelt. Az egyenlet pontosan így szerepelt a szövegben.
A tankönyv az egyensúlyban lévő tárgy gondolatát próbálta bemutatni. Egyensúlyban a tárgyra ható összes erő a nullvektor. Ez az egyenlet azonban azt mondja ki, hogy a vektorerők teljes összege éppen egyenlő a nullával (a skalárral). Ó, talán a 0-t használják a nulla vektor ábrázolására? Ez egy hihető magyarázat lenne, ha nem használnának nyilakat más vektorok ábrázolására. Nem, a nulla vektor még mindig egy vektor. Ezt az egyenletet a legjobban így lehetne ábrázolni:
Ebben a változatban egy vektor egyenlő egy vektorral. Így már jobb.
Hadd fejezzem be két megjegyzéssel. Először is, korábban már beszéltem a vektorokról. Az egyik kedvenc posztom ez a válasz a Khan Academy-nek a vektorokról. Lényegében ez egy kinematikai problémák megoldásáról szóló vita második része, amelyben amellett érvelek, hogy akkor is használhatunk vektorokat, ha egydimenziós problémáról van szó. Másodszor, ha a vektorokat a nullvektorral akarod egyenlővé tenni, győződj meg róla, hogy nullvektornak hívod, és nem csak “nullának”.