Free Press

vorige index volgende PDF

Applet hier!

Michael Fowler

Het ultieme in brandstofefficiëntie voor een warmte motor

Alle standaard warmte motoren (stoom, benzine, diesel) werken door warmte te leveren aan een gas, het gas zet dan uit in een cilinder en duwt een zuiger om zijn werk te doen. Het is dus makkelijk om te zien hoe je warmte in arbeid omzet, maar dat is een eenmalige actie. We moeten het blijven herhalen om een bruikbare motor te hebben. De warmte en/of het gas moeten dus uit de cilinder worden geloosd voordat de volgende cyclus begint, anders wordt alle arbeid die het gas leverde bij het uitzetten verbruikt door het weer samen te persen!

Het doel van deze lezing is uit te vinden hoe efficiënt zo’n warmtemotor kan zijn: wat is de grootste arbeid die we kunnen krijgen voor een gegeven hoeveelheid brandstof in een cyclisch proces? We zullen hier het model tot op de essentie bekijken: een ideaal gas is ingesloten in een cilinder, met externe thermische verbindingen om warmte toe te voeren en af te voeren, en een wrijvingsloze zuiger voor het gas om mechanische arbeid te verrichten (en indien nodig op te nemen):

De eenvoudigste warmtemotor wordt de Carnotmotor genoemd, waarbij één volledige verwarmings-/afkoelings-, uitzettings-/inkrimpingscyclus terug naar het oorspronkelijke gasvolume en de oorspronkelijke temperatuur een Carnotcyclus is, genoemd naar Sadi Carnot die in 1820 de juiste formule afleidde voor het maximaal mogelijke rendement van zo’n warmtemotor in termen van de maximale en minimale gastemperaturen tijdens de cyclus.

Carnots resultaat was dat als de maximale warme temperatuur die het gas bereikt T H is, en de koudste temperatuur tijdens de cyclus T C is (graden kelvin, of liever gewoon kelvin, natuurlijk), de fractie van de toegevoerde warmte-energie die als mechanische arbeid naar buiten komt, het rendement wordt genoemd,

Rendement = T H – T C T H .

Dit was een verbazingwekkend resultaat, want het was precies goed, ondanks dat het gebaseerd was op een volledig verkeerd begrip van de aard van warmte!

Hoe het begrijpen van het rendement van een waterrad de sleutel was tot het begrijpen van de warmtemotor

Carnot geloofde dat warmte, net als elektriciteit, een vloeistof was die van hete dingen naar koude dingen vloeide (en op de een of andere manier door de ruimte als straling).

Wat motiveerde Carnot om in 1820 te proberen het energierendement van stoom te berekenen? Wel, het was de tijd van de Industriële Revolutie, en de efficiëntie van je energievoorziening bepaalde je winstmarge.

Grote machines werden vooral gebruikt bij de massaproductie van stoffen, in fabrieken die molens werden genoemd. Tot het eind van de 17e eeuw stonden deze molens aan snelstromende rivieren. De krachtbron was een groot waterrad, dat een lange roterende stang liet draaien die zich over de hele lengte van de fabriek uitstrekte. Touwen haalden de kracht uit katrollen op deze stang om individuele weefgetouwen te laten draaien, die werden bediend door ongeschoolde arbeiders, vaak kinderen. De foto hieronder is veel later (1914), en door stoom aangedreven, maar laat het aandrijfschema zien.

De stoommachine bood een aantrekkelijk alternatief: hij hoefde niet dicht bij een rivier te staan. Maar hij had kolen of hout nodig als brandstof, in tegenstelling tot de watermolen.

Omdat de belangrijkste bron van industriële energie tot het eind van de 17e eeuw het waterrad was, werd er veel over nagedacht om het zo efficiënt mogelijk te maken, en omdat Carnot dacht dat warmte een vloeistof was, gebruikte hij het waterrad-denken bij het analyseren van de stoommachine. Dus, hoe maak je een waterrad zo efficiënt mogelijk?

Het water verliest potentiële energie als het door het wiel naar beneden wordt gedragen, dus de grootst mogelijke energie is mgh watt, waarbij m de massa is van het water dat per seconde stroomt. (We verwaarlozen de eventuele kinetische energie van het binnenstromende water – dit is een zeer klein effect, dat niet van toepassing is op de analyse van Carnot’s warmtemotor.)

Hoe wordt energie verspild? Het is duidelijk dat we zo weinig mogelijk wrijving in het wiel nodig hebben. Er moet een soepele stroming zijn: geen rondspattend water.

Het water moet in en uit het wiel stromen zonder een noemenswaardige hoogte te verliezen, anders verliest het zoveel potentiële energie zonder arbeid te produceren.

Een perfect waterrad zou omkeerbaar zijn: het zou gebruikt kunnen worden om een kopie van zichzelf achteruit aan te drijven, om dezelfde hoeveelheid water per seconde op te tillen als er gevallen is.

Terzijde: Een modern waterrad in Virginia

Er is in Virginia een behoorlijk efficiënt waterrad: het is zo’n 80% efficiënt – de Bath County hydro-elektrische pompaccumulatiecentrale. Dit is een waterrad, eigenlijk een turbine, maar dat komt op hetzelfde neer, beter ontworpen, dat in beide richtingen werkt. Water uit een hoger gelegen meer valt via een pijpleiding naar een turbine en het lager gelegen meer, waardoor elektrische stroom wordt opgewekt. Als alternatief kan elektrische stroom worden geleverd om het water weer omhoog te pompen. Waarom nog moeite? Omdat de vraag naar elektriciteit varieert en het beter is om zo mogelijk geen centrales te bouwen die alleen tijdens piekuren draaien. Het is beter om stroom op te slaan in tijden van lage vraag.

Het verval is zo’n 380 meter. De stroomsnelheid is ongeveer duizend ton per seconde. De centrale genereert ongeveer 3 Gigawatt, aanzienlijk meer dan een twee-eenheid kerncentrale, zoals North Anna.

Carnots idee: een “waterrad” voor warmte

Carnots overtuiging dat warmte een vloeistof is (we stellen ons nog steeds voor dat warmte op die manier stroomt wanneer we aan warmtegeleiding denken, of bijvoorbeeld bij koken) bracht hem ertoe de stoommachine te analyseren in parallel met een waterrad. In het waterrad valt het water door een astravitationeel potentiaalverschil en die potentiële energie wordt omgezet in arbeid door het rad. De “elektrische vloeistof” zien we nu als een vloeistof die elektrische potentiaal-energie verliest en arbeid of warmte produceert. Hoe zit het dan met de warmte “calorische vloeistof” (zoals het genoemd werd)? Het is duidelijk dat de analogie met gravitatiepotentiaal gewoon temperatuur is! Als het gas in de cilinder uitzet, verricht het arbeid, maar de temperatuur daalt.

Carnot ging ervan uit dat de stoommachine niets anders was dan een waterrad voor deze calorische vloeistof, dus de meest efficiënte machine zou minimale wrijving hebben, maar ook, naar analogie met het water dat zachtjes het rad in- en uitstroomt zonder tussentijds hoogteverlies, zou de warmte het gas in de machine isotherm binnenkomen en verlaten (onthoud dat de temperatuur analoog is aan de gravitatiepotentiaal, dus de hoogte). Daarom meet, naar analogie van gh, de temperatuurdaling T H – T C de potentiële energie die door een eenheid van de “warmtevloeistof” wordt afgestaan.

De meest efficiënte stoommachine zou een isothermische warmte-uitwisseling hebben (verwaarloosbare temperatuurverschillen bij de warmte-uitwisseling), zoals het meest efficiënte waterrad (slechts een minieme daling wanneer het water het rad in- en uitstroomt). Natuurlijk is dit de theoretische grens: enige daling is noodzakelijk voor de werking. Maar het belangrijke punt is dat in de limiet van perfecte efficiëntie, zowel de motor als het waterrad omkeerbaar zijn – indien voorzien van werk, kunnen zij het omzetten in dezelfde hoeveelheid warmte die zij nodig zouden hebben om dat werk in de eerste plaats op te wekken.

Maar hoe verhoudt zich dat tot de energie die is besteed om de warmte in de eerste plaats op te wekken? Carnot wist nog iets anders: er is een absoluut nulpunt van temperatuur. Daarom, zo redeneerde hij, als je de vloeistof afkoelde tot het absolute nulpunt, zou het al zijn warmte-energie afgeven. Dus, de maximaal mogelijke hoeveelheid energie die je kunt onttrekken door het af te koelen van T H naar T C is, welk deel is dat van afkoeling tot het absolute nulpunt?

Efficiënt werk maken van een heet gas: Isothermische en adiabatische stromingen

Nu de details om het meeste werk uit een verhit gas te halen. We willen dat het proces zo goed mogelijk omkeerbaar is: er zijn twee manieren om de zuiger omkeerbaar te laten bewegen: isotherm, wat betekent dat de warmte geleidelijk in of uit een reservoir stroomt met een temperatuur die oneindig verschilt van die van het gas in de zuiger, en adiabatisch, waarbij er helemaal geen warmte-uitwisseling is, het gas werkt gewoon als een veer.

Dus, als de warmte wordt toegevoerd en het gas expandeert, moet de temperatuur van het gas gelijk blijven aan die van de warmtetoevoer (het “warmtereservoir”): het gas expandeert isothermisch. Evenzo moet het later in de cyclus isotherm krimpen als het warmte afgeeft.

Om het rendement te berekenen, moeten we de motor door een volledige cyclus volgen, om uit te vinden hoeveel werk hij verricht, hoeveel warmte hij van de brandstof opneemt, en hoeveel warmte hij afstaat om zich op de volgende cyclus voor te bereiden. Kijk maar eens naar de applet om een beeld te krijgen: de cyclus bestaat uit vier stappen, een isothermische uitzetting wanneer warmte wordt opgenomen, gevolgd door een adiabatische uitzetting, dan een isothermische inkrimping wanneer warmte wordt afgevoerd, en tenslotte een adiabatische inkrimping tot de oorspronkelijke configuratie. We doen dit stap voor stap.

Stap 1: Isotherme uitzetting

De eerste vraag is dus: Hoeveel warmte wordt toegevoerd, en hoeveel arbeid wordt verricht, als het gas isotherm uitzet? Als de temperatuur van het warmtereservoir T H ( H voor heet) is, volgt het expanderende gas het isothermische pad PV=nR T H in het ( P,V ) vlak.

De door het gas verrichte arbeid bij een kleine volume-uitzetting ΔV is gewoon PΔV, de oppervlakte onder de kromme (zoals we in de vorige lezing hebben aangetoond).

Dus de arbeid die wordt verricht bij de isotherme uitzetting van volume V a tot V b is de totale oppervlakte onder de kromme tussen deze waarden,

verrichte arbeid isotherm= ∫ V a V b PdV= ∫ V a V b nR T H V dV= nR T H ln V b V a .

Er is geen verandering in de inwendige energie tijdens deze expansie, dus de totale toegevoerde warmte moet nR T H ln V b V a zijn, gelijk aan de uitwendige arbeid die het gas heeft verricht.

In feite is deze isotherme expansie slechts de eerste stap: het gas heeft de temperatuur van het warmtereservoir, heter dan zijn omgeving, en zal kunnen blijven expanderen, zelfs als de warmtetoevoer wordt onderbroken. Om ervoor te zorgen dat deze verdere expansie ook omkeerbaar is, mag het gas geen warmte aan de omgeving verliezen. Dat wil zeggen, nadat de warmtetoevoer is onderbroken, mag er geen verdere warmte-uitwisseling met de omgeving plaatsvinden, de expansie moet adiabatisch zijn.

Stap 2: Adiabatische uitzetting

Bij adiabatische uitzetting wordt per definitie geen warmte toegevoerd, maar wel arbeid verricht.

De arbeid die het gas verricht bij adiabatische uitzetting is als die van een samengeperste veer die uitzet tegen een kracht in – gelijk aan de arbeid die nodig was om het in eerste instantie samen te persen, voor een ideaal (en perfect geïsoleerd) gas. Dus adiabatische uitzetting is omkeerbaar.

Bij adiabatische expansie neemt de druk sterker af naarmate het volume toeneemt, omdat, in tegenstelling tot het isothermische geval, geen warmte-energie aan het gas wordt toegevoerd terwijl het uitzet, zodat de arbeid die de zuiger kan verrichten bij een stapsgewijze expansie noodzakelijkerwijs minder is, de druk moet lager zijn.

De inwendige energie van n mol van een ideaal gas bij temperatuur T is n C V T. Dit is (in ons moderne beeld) de kinetische energie van de moleculen, en hangt niet af van het door het gas ingenomen volume.Daarom is de verandering in inwendige energie bij adiabatische uitzetting

W adiabat =n C V ( T c – T b ),

dus dit is de arbeid die door het uitzetten van het gas tegen de uitwendige druk wordt verricht.

Stappen 3 en 4: Voltooiing van de cyclus

We hebben in detail gekeken naar de arbeid die een gas verricht bij expansie als warmte wordt toegevoerd (isothermisch) en als er geen warmte-uitwisseling is (adiabatisch). Dit zijn de twee eerste stappen in een warmtemotor, maar het is noodzakelijk voor de motor om terug te keren naar waar hij begon, voor de volgende cyclus. Het algemene idee is dat de zuiger een wiel aandrijft (zoals in het schema aan het begin van deze lezing), dat blijft draaien en het gas terugduwt naar het oorspronkelijke volume.

Maar het is ook essentieel dat het gas zo koud mogelijk is op deze terugweg, omdat het wiel nu arbeid moet verrichten op het gas, en we willen dat dat zo weinig mogelijk arbeid is – het kost ons geld. Hoe kouder het gas, hoe minder druk er op het wiel komt te staan.

Om ervoor te zorgen dat de motor zo efficiënt mogelijk werkt, moet deze terugweg naar het beginpunt ( P a , V a ) ook omkeerbaar zijn. We kunnen niet gewoon de weg terug volgen die in de eerste twee etappes is afgelegd, dat zou al het werk wegnemen dat de motor in die etappes heeft verricht, en ons zonder netto-output laten zitten. Nu is het gas afgekoeld tijdens de adiabatische expansie van b naar c, van T H naar T C , zeg maar, dus we kunnen weer een stukje terug langs de omkeerbare koudere isotherm T C . Het is duidelijk dat we daarmee niet helemaal terug kunnen naar ( P a , V a ), want dat is bij de hetere temperatuur T H . Het is echter ook duidelijk dat we het beste zo lang mogelijk zo koud mogelijk kunnen blijven, mits we op een omkeerbaar pad terug kunnen naar het begin (anders verliezen we aan efficiëntie). Er is eigenlijk maar één optie: we blijven op de koude isotherm tot we de adiabat tegenkomen die door het beginpunt gaat, en voltooien dan de cyclus door die adiabat op te gaan (vergeet niet dat de adiabats steiler zijn dan de isothermen).

Om u een voorstelling te maken van de Carnot-cyclus in het (P, V) vlak, herinnert u zich uit de vorige lezing de grafiek met twee isothermen en twee adiabaten:

Carnot’s cyclus loopt rond die gebogen vierhoek met deze vier krommen als zijden.

Laten we dit opnieuw tekenen, iets minder realistisch maar handiger:

Rendement van de Carnotmotor

In een volledige cyclus van Carnot’s warmtemotor volgt het gas het pad abcd. De belangrijke vraag is: welk deel van de toegevoerde warmte uit het hete reservoir (langs de rode top-isotherm), laten we het Q H noemen, wordt omgezet in mechanische arbeid? Deze fractie is natuurlijk het rendement van de motor.

W= Q H – Q c ,

Q C is de warmte die wordt afgevoerd als het gas wordt samengeperst langs de koude isotherm.

Het rendement is de fractie van de toegevoerde warmte die daadwerkelijk in arbeid wordt omgezet, dus

rendement = W Q H = Q H – Q C Q H .

Dit is het antwoord, maar het is niet bijzonder nuttig: het meten van de warmtestroom, vooral de afvalwarmte, is vrij moeilijk. Men heeft lang gedacht dat de warmtestroom naar buiten gelijk was aan de warmtestroom naar binnen, en dit leek heel aannemelijk omdat het rendement van de eerste motoren erg laag was.

Maar er is een betere manier om dit uit te drukken.

Nu is de warmte die wordt toegevoerd langs het initieel warme isotherme pad ab gelijk aan de arbeid die langs dat traject wordt verricht, (uit de paragraaf hierboven over isotherme expansie):

Q H =nR T H ln V b V a

en de warmte die langs cd in het koude reservoir wordt gedumpt is

Q C =nR T C ln V c V d .

Q H – Q C ziet er ingewikkeld uit, maar dat is het niet!

De uitdrukking kan sterk worden vereenvoudigd met behulp van de adiabatische vergelijkingen voor de andere twee zijden van de cyclus:

T H V b γ-1 = T C V c γ-1 T H V a γ-1 = T C V d γ-1 .

Deelt u de eerste van deze vergelijkingen door de tweede,

( V b V a )=( V c V d )

en gebruikt u die in de voorgaande vergelijking voor Q C ,

Q C =nR T C ln V a V b = T C T H Q H .

Dus voor de Carnot-cyclus is de verhouding tussen toegevoerde en afgevoerde warmte slechts de verhouding tussen de absolute temperaturen!

Q H Q C = T H T C , of Q H T H = Q C T C .

Houd dit in gedachten: het zal belangrijk zijn bij het ontwikkelen van het begrip entropie.

De verrichte arbeid kan nu eenvoudig worden geschreven:

W= Q H – Q C =(1- T C T H ) Q H .

Dus het rendement van de motor, gedefinieerd als de fractie van de ingaande warmte-energie die in beschikbare arbeid wordt omgezet, is

rendement = W Q H =1- T C T H .

Deze temperaturen zijn uiteraard in graden Kelvin, zodat bijvoorbeeld het rendement van een Carnot-motor met een heet reservoir kokend water en een koud reservoir ijskoud water 1-(273/373)=0,27 zal zijn, iets meer dan een kwart van de warmte-energie wordt omgezet in nuttige arbeid. Dit is precies dezelfde uitdrukking die Carnot vond in zijn waterwiel-analogie.

Na al die moeite om een efficiënte warmtemotor te construeren, hem omkeerbaar te maken om “wrijvings”-verliezen te elimineren, etc., is het misschien wat teleurstellend om dit cijfer van 27% rendement te vinden bij bedrijf tussen 0 ℃ en 100 ℃. In feite, toen in de vroege jaren 1800 de eerste stoomlocomotieven werden ontworpen, bleek dat de kracht / gewicht verhouding nodig is om te bewegen langs een spoor alleen kon worden bereikt door het hebben van hoge druk ketels, dat wil zeggen kokend water op een paar atmosferen (tot tien van zo) druk. Bij 6 atmosferen druk, bijvoorbeeld, de kooktemperatuur is ongeveer 280 ℃, of zeggen 550 K (kelvin), dus werken tussen dat en kamertemperatuur bij 300 K geeft een theoretisch rendement van ongeveer 250/550, of 45%, een grote verbetering.

vorige index volgende PDF