La scala logica informa sui cambiamenti relativi (moltiplicativi), mentre la scala lineare informa sui cambiamenti assoluti (additivi). Quando si usa l’una e l’altra? Quando ti interessano i cambiamenti relativi, usa la scala logaritmica; quando ti interessano i cambiamenti assoluti, usa la scala lineare. Questo è vero per le distribuzioni, ma anche per qualsiasi quantità o cambiamento di quantità.
Nota, uso la parola “cura” qui in modo molto specifico e intenzionale. Senza un modello o un obiettivo, non si può rispondere alla tua domanda; il modello o l’obiettivo definisce quale scala è importante. Se stai cercando di modellare qualcosa, e il meccanismo agisce attraverso un cambiamento relativo, la scala log è fondamentale per catturare il comportamento visto nei tuoi dati. Ma se il meccanismo del modello sottostante è additivo, vorrete usare la scala lineare.
Esempio. Mercato azionario.
Borsa A il giorno 1: $\$$100. Il giorno 2, $101$. Ogni servizio di monitoraggio delle azioni nel mondo riporta questo cambiamento in due modi! (1) +$\$$1. (2) +1%. Il primo è una misura del cambiamento assoluto, additivo; il secondo una misura del cambiamento relativo.
Illustrazione del cambiamento relativo vs assoluto: Il cambiamento relativo è lo stesso, il cambiamento assoluto è diverso
Il titolo A passa da $1$$ a $1.10$.Il titolo B passa da $100$ a $110$.
Il titolo A ha guadagnato il 10%, il titolo B il 10% (scala relativa, uguale)
…ma lo stock A ha guadagnato 10 centesimi, mentre lo stock B ha guadagnato $\$$10 (B ha guadagnato più dollari in assoluto)
Se convertiamo in spazio log, i cambiamenti relativi appaiono come cambiamenti assoluti.
Il titolo A passa da $\log_{10}(\$1)$ a $\log_{10}(\$1.10)$ = 0 a .0413
Il titolo B passa da $\log_{10}(\$100)$ a $\log_{10}(\$110)$ = 2 a 2.0413
Ora, prendendo la differenza assoluta nello spazio log, troviamo che entrambi sono cambiati di .0413.
Entrambe queste misure di cambiamento sono importanti, e quale sia importante per voi dipende solo dal vostro modello di investimento. Ci sono due modelli. (1) Investire un importo fisso di capitale, o (2) investire in un numero fisso di azioni.
Modello 1: Investire con un importo fisso di capitale.
Si supponga che ieri le azioni A costino $1$$ per azione, e le azioni B costino $100$$ per azione. Oggi entrambe sono salite di un dollaro, rispettivamente a $2$$ e $101$. Il loro cambiamento assoluto è identico ($$$1), ma il loro cambiamento relativo è drammaticamente diverso (100% per A, 1% per B). Dato che avete una quantità fissa di capitale da investire, diciamo $\100$$, potete permettervi solo 1 azione di B o 100 azioni di A. Se investiste ieri avreste $\200$$ con A, o $\101$$ con B. Quindi qui vi “importa” dei guadagni relativi, specificamente perché avete una quantità finita di capitale.
Modello 2: numero fisso di azioni.
In uno scenario diverso, supponiamo che la vostra banca vi permetta di comprare solo blocchi di 100 azioni, e che abbiate deciso di investire in 100 azioni di A o B. Nel caso precedente, sia che compriate A o B i vostri guadagni saranno gli stessi ($$$$100 – cioè $1 per ogni azione).
Ora supponiamo di pensare al valore delle azioni come a una variabile casuale che fluttua nel tempo, e vogliamo trovare un modello che rifletta in generale il comportamento delle azioni. E diciamo che vogliamo usare questo modello per massimizzare il profitto. Calcoliamo una distribuzione di probabilità i cui valori x sono in unità di ‘prezzo delle azioni’, e i valori y in probabilità di osservare un dato prezzo delle azioni. Lo facciamo per l’azione A e per l’azione B. Se si sottoscrive il primo scenario, dove si ha un importo fisso di capitale che si vuole investire, allora prendere il log di queste distribuzioni sarà informativo. Perché? Ciò che vi interessa è la forma della distribuzione nello spazio relativo. Che un’azione vada da 1 a 10, o da 10 a 100 non vi interessa, giusto? Entrambi i casi sono un guadagno relativo di 10 volte. Questo appare naturalmente in una distribuzione a scala logaritmica, in quanto i guadagni unitari corrispondono direttamente ai guadagni in fold. Per due azioni il cui valore medio è diverso ma il cui cambiamento relativo è distribuito in modo identico (hanno la stessa distribuzione di cambiamenti percentuali giornalieri), le loro distribuzioni log saranno identiche nella forma appena spostata. Al contrario, le loro distribuzioni lineari non saranno identiche nella forma, con la distribuzione di maggior valore che avrà una varianza più alta.
Se si dovessero guardare queste stesse distribuzioni nello spazio lineare, o assoluto, si potrebbe pensare che i prezzi delle azioni di maggior valore corrispondano a maggiori fluttuazioni. Per i vostri scopi di investimento però, dove contano solo i guadagni relativi, questo non è necessariamente vero.
Esempio 2. Supponiamo di avere due molecole A e B che subiscono una reazione reversibile.
$A\freccia destra B$
che è definita dalle singole costanti di velocità
($k_{ab}$) $A\freccia destra B$($k_{ba}$) $B\freccia destra A$
Il loro equilibrio è definito dalla relazione:
$K=frac{k_{ab}}{k_{ba}}=frac{}$
Due punti qui. (1) Questa è una relazione moltiplicativa tra le concentrazioni di $A$ e $B$. (2) Questa relazione non è arbitraria, ma nasce direttamente dalle proprietà fisico-chimiche fondamentali che governano le molecole che si scontrano e reagiscono.
Ora supponiamo di avere una certa distribuzione della concentrazione di A o B. La scala appropriata di questa distribuzione è in log-spazio, perché il modello di come cambia la concentrazione è definito in modo moltiplicativo (il prodotto della concentrazione di A con l’inverso della concentrazione di B). In qualche universo alternativo in cui $K^*=k_{ab}-k_{ba}=-$, potremmo guardare questa distribuzione di concentrazione nello spazio lineare assoluto.
Detto questo, se avete un modello, che sia per la previsione del mercato azionario o per la cinetica chimica, potete sempre interconvertire ‘senza perdite’ tra lo spazio lineare e quello logico, purché il vostro intervallo di valori sia $(0,\inf)$. Se scegliete di guardare la distribuzione lineare o quella su scala log dipende da cosa state cercando di ottenere dai dati.
EDIT. Un parallelo interessante che mi ha aiutato a costruire l’intuizione è l’esempio delle medie aritmetiche contro le medie geometriche. Una media aritmetica (vaniglia) calcola la media dei numeri assumendo un modello nascosto dove le differenze assolute sono ciò che conta. Esempio. La media aritmetica di 1 e 100 è 50,5. Supponiamo però che stiamo parlando di concentrazioni, dove la relazione chimica tra le concentrazioni è moltiplicativa. Allora la concentrazione media dovrebbe davvero essere calcolata su scala logaritmica. Questo si chiama media geometrica. La media geometrica di 1 e 100 è 10! In termini di differenze relative, questo ha senso: 10/1 = 10, e 100/10 = 10, cioè, il cambiamento relativo tra la media e due valori è lo stesso. Additivamente troviamo la stessa cosa; 50,5-1= 49,5, e 100-50,5 = 49,5.