Free Press

Spirale, curva piana che, in generale, si avvolge intorno a un punto allontanandosi sempre più dal punto. Si conoscono molti tipi di spirale, la prima risale ai tempi dell’antica Grecia. Le curve si osservano in natura, e gli esseri umani le hanno usate nelle macchine e nell’ornamento, in particolare architettonico – per esempio, la spirale in un capitello ionico. Le due spirali più famose sono descritte qui sotto.

Anche se il matematico greco Archimede non ha scoperto la spirale che porta il suo nome (vedi figura), l’ha impiegata nel suo On Spirals (c. 225 a.C.) per squadrare il cerchio e trisecare un angolo. L’equazione della spirale di Archimede è r = aθ, in cui a è una costante, r è la lunghezza del raggio dal centro, o inizio, della spirale, e θ è la posizione angolare (quantità di rotazione) del raggio. Come i solchi in un disco fonografico, la distanza tra i giri successivi della spirale è una costante-2πa, se θ è misurata in radianti.

La spirale equiangolare, o logaritmica, (vedi figura) fu scoperta dallo scienziato francese René Descartes nel 1638. Nel 1692 il matematico svizzero Jakob Bernoulli la chiamò spira mirabilis (“spirale miracolosa”) per le sue proprietà matematiche; è scolpita sulla sua tomba. L’equazione generale della spirale logaritmica è r = aeθ cot b, in cui r è il raggio di ogni giro della spirale, a e b sono costanti che dipendono dalla particolare spirale, θ è l’angolo di rotazione come la curva a spirale, ed e è la base del logaritmo naturale. Mentre i giri successivi della spirale di Archimede sono equidistanti, la distanza tra i giri successivi della spirale logaritmica aumenta in una progressione geometrica (come 1, 2, 4, 8,…). Tra le sue altre proprietà interessanti, ogni raggio dal suo centro interseca ogni giro della spirale con un angolo costante (equiangolare), rappresentato nell’equazione da b. Inoltre, per b = π/2 il raggio si riduce alla costante a – in altre parole, ad un cerchio di raggio a. Questa curva approssimativa si osserva nelle ragnatele e, con un maggior grado di precisione, nel mollusco a camera, il nautilus (vedi foto), e in certi fiori.