Free Press

förra index nästa PDF

Applet här!

Michael Fowler

Den ultimata bränslesnålheten för en värmemotor

Alla vanliga värmemotorer (ång-, bensin- och dieselmotorer) arbetar genom att tillföra värme till en gas som expanderar i en cylinder och trycker på en kolv för att utföra sitt arbete. Det är alltså lätt att se hur man omvandlar värme till arbete, men det är en engångsföreteelse. Det måste fortsätta att upprepas för att vi ska få en användbar motor. Värmen och/eller gasen måste därför släppas ut ur cylindern innan nästa cykel börjar, annars kommer allt arbete som gasen utförde när den expanderade att användas för att komprimera den igen!

Vårt mål med den här föreläsningen är att ta reda på hur effektiv en sådan värmemotor kan vara: hur mycket arbete kan vi möjligen få ut för en given mängd bränsle i en cyklisk process? Vi kommer här att undersöka modellen i sin helhet: en idealisk gas är innesluten i en cylinder, med externa termiska anslutningar för att tillföra och ta bort värme, och en friktionsfri kolv för att gasen ska kunna utföra (och vid behov absorbera) mekaniskt arbete:

Denna enklaste värmemotor kallas Carnotmotor, för vilken en fullständig uppvärmnings-/kylnings-, expanderings-/kontraktionscykel tillbaka till den ursprungliga gasvolymen och gastemperaturen är en Carnotcykel, som är uppkallad efter Sadi Carnot, som 1820 härledde den korrekta formeln för den maximalt möjliga verkningsgraden för en sådan värmemotor i termer av den maximala och minimala gastemperaturen under cykeln.

Carnots resultat var att om gasens maximala heta temperatur är T H och den kallaste temperaturen under cykeln är T C (grader kelvin, eller rättare sagt bara kelvin, förstås) så är den andel av den tillförda värmeenergin som kommer ut i form av mekaniskt arbete, som kallas verkningsgrad,

verkningsgrad = T H – T C T H .

Detta var ett fantastiskt resultat, eftersom det var exakt korrekt, trots att det byggde på ett fullständigt missförstånd om värmens natur!

Hur förståelsen av vattenhjulets effektivitet var nyckeln till förståelsen av värmemotorn

Carnot trodde att värme, liksom elektricitet, var en vätska som flödade från heta saker till kalla saker (och på något sätt genom rymden som strålning).

Vad motiverade Carnot till att försöka beräkna ångans energieffektivitet år 1820? Tja, det var den industriella revolutionens tid, och effektiviteten i din energiförsörjning avgjorde din vinstmarginal.

De stora motorerna användes främst vid massproduktion av tyg, i fabriker som kallades kvarnar. Fram till slutet av 1700-talet låg dessa kvarnar vid snabbt strömmande floder, kraftkällan var ett stort vattenhjul, som vände en lång roterande stång som sträckte sig över hela fabriken. Linor tog kraft från remskivor på denna stång för att vrida enskilda vävstolar, som sköttes av lågkvalificerade arbetare, ofta barn. Bilden nedan är mycket senare (1914) och är ångdriven, men den visar drivsystemet.

Den här ångmaskinen erbjöd ett attraktivt alternativ: den behövde inte ligga i närheten av en flod. Men den behövde kol eller trä som bränsle, till skillnad från vattenkvarnen.

Då vattenhjulet var den viktigaste källan till industriell kraft fram till slutet av 1600-talet, gjordes mycket arbete för att göra det så effektivt som möjligt, och eftersom Carnot trodde att värme var en vätska, använde han sig av vattenhjulstänkandet när han analyserade ångmaskinen. Hur gör man då ett vattenhjul så effektivt som möjligt?

Vattnet förlorar potentiell energi när det transporteras nedåt av hjulet, så den största möjliga energin är mgh watt, där m är massan vatten som strömmar per sekund. (Vi bortser från eventuella kinetiska energibidrag från det inkommande vattnet som kommer in snabbt – detta är en mycket liten effekt och gäller inte för Carnots analys av värmemotorn.)

Hur slösas energi bort? Det är uppenbart att vi behöver så lite friktion som möjligt i hjulet. Det måste vara ett jämnt flöde: inget vatten som stänker omkring.

Vattnet måste strömma in i och ut ur hjulet utan att sjunka någon större höjd, annars förlorar det så mycket potentiell energi utan att producera arbete.

Ett perfekt vattenhjul skulle vara reversibelt: det skulle kunna användas för att driva en kopia av sig själv baklänges, för att lyfta upp samma mängd vatten per sekund som föll.

En annan sak: Ett modernt vattenhjul i Virginia

Det finns ett ganska effektivt vattenhjul i Virginia: det har en verkningsgrad på cirka 80 procent – vattenkraftverket i Bath Countyy. Detta är ett vattenhjul, egentligen en turbin, men det handlar om samma sak bättre utformad, som fungerar åt båda hållen. Vatten från en övre sjö faller genom ett rör till en turbin och den nedre sjön och genererar elkraft. Alternativt kan elkraft levereras för att pumpa upp vattnet igen. Varför bry sig? Därför att efterfrågan på el varierar, och det är bättre att om möjligt undvika att bygga kraftverk som endast är i drift under toppar av efterfrågan. Det är billigare att lagra el när efterfrågan är låg.

Fallhöjden h är ungefär 1200 fot, 380 meter. Flödeshastigheten är ungefär tusen ton per sekund. Anläggningen genererar cirka 3 gigawatt, vilket är betydligt mer än ett kärnkraftverk med två enheter, till exempel North Anna.

Carnots idé: ett ”vattenhjul” för värme

Carnots övertygelse att värme var en vätska (vi föreställer oss fortfarande att den flödar på det sättet när vi tänker på värmeledning eller till exempel matlagning) fick honom att analysera ångmaskinen parallellt med ett vattenhjul. I vattenhjulet faller vattnet genom en gravitationell potentialskillnad och den potentiella energin omvandlas till arbete av hjulet. Den ”elektriska vätskan” ser vi nu som en vätska som förlorar elektrisk potentialenergi och producerar arbete eller värme. Hur är det då med värmen ”kalorisk vätska” (som den kallades)? Analogin till gravitationspotentialen är uppenbarligen bara temperaturen! När gasen i cylindern expanderar utför den arbete, men dess temperatur sjunker.

Carnot antog att ångmaskinen inte var något annat än ett vattenhjul för denna kaloriska vätska, så den mest effektiva motorn skulle ha minimal friktion, men också, i analogi med vattnet som går in i och ut ur hjulet försiktigt utan någon mellanliggande höjdförlust, skulle värmen gå in i och ut ur gasen i motorn isotermiskt (kom ihåg att temperaturen är analog med gravitationspotentialen, alltså höjden). Därför, i analogi med gh, mäter temperatursänkningen T H – T C den potentiella energi som avges av en enhetsmängd av ”värmevätskan”.

Den mest effektiva ångmaskinen skulle ha isotermiskt värmeutbyte (försumbara temperaturskillnader i värmeutbytet), liksom det mest effektiva vattenhjulet (endast en liten droppe när vattnet kommer in i och lämnar hjulet). Detta är naturligtvis den teoretiska gränsen: en viss minskning är nödvändig för driften. Men den viktiga punkten är att i gränsen för perfekt effektivitet är både motor och vattenhjul reversibla – om de förses med arbete kan de omvandla det till samma mängd värme som de skulle behöva för att generera arbetet från början.

Men hur förhåller sig detta till den energi som går åt för att producera värmen från början? Carnot visste en annan sak: det fanns en absolut nollpunkt för temperaturen. Därför, resonerade han, skulle vätskan avge all sin värmeenergi om man kylde ner den till den absoluta nollpunkten. Den maximala energimängd som man kan utvinna genom att kyla den från T H till T C är alltså hur stor del som helst av den mängd energi man kan utvinna genom att kyla den till den absoluta nollpunkten?

Det är bara T H – T C T H !

Naturligtvis stämmer inte bilden av den kaloriska vätskan, men detta resultat stämmer! Detta är den maximala verkningsgraden för en aperfekt motor: och kom ihåg att denna motor är reversibel. Vi kommer att se hur vi kan använda detta viktiga faktum senare.

För att få ut arbete ur en varm gas på ett effektivt sätt: Isotermiska och adiabatiska flöden

Nu ska vi gå över till detaljerna för att få ut mesta möjliga arbete ur en uppvärmd gas. Vi vill att processen ska vara så nära reversibel som möjligt: det finns två sätt att flytta kolven reversibelt: isotermiskt, vilket innebär att värme gradvis flödar in eller ut från en behållare med en temperatur som skiljer sig oändligt mycket från gasens temperatur i kolven, och adiabatiskt, vilket innebär att det inte sker något värmeutbyte alls och att gasen bara fungerar som en fjäder.

Så när värmen tillförs och gasen expanderar måste gasens temperatur vara densamma som temperaturen i värmetillförseln (värmereservoaren): gasen expanderar isotermiskt. På samma sätt måste den senare i cykeln krympa isotermiskt när den avger värme.

För att räkna ut verkningsgraden måste vi följa motorn genom en fullständig cykel och ta reda på hur mycket arbete den utför, hur mycket värme som tas upp från bränslet och hur mycket värme som avges för att förbereda sig för nästa cykel. Du kanske vill titta på appleten för att få en bild av detta: cykeln har fyra steg, en isotermisk expansion när värme tas upp, följt av en adiabatisk expansion, sedan en isotermisk sammandragning när värme släpps ut och slutligen en adiabatisk sammandragning till den ursprungliga konfigurationen. Vi tar ett steg i taget.

Steg 1: Isotermisk expansion

Den första frågan är alltså: Hur mycket värme tillförs och hur mycket arbete utförs när gasen expanderar isotermiskt? Om man antar att värmereservoarens temperatur är T H ( H för varm) följer den expanderande gasen den isotermiska banan PV=nR T H i planet ( P,V ).

Arbetet som utförs av gasen i en liten volymexpansion ΔV är bara PΔV, arean under kurvan (vilket vi bevisade i den senaste föreläsningen).

Det arbete som utförs vid isotermisk expansion från volym V a till V b är alltså den totala arean under kurvan mellan dessa värden,

arbete utfört isotermiskt= ∫ V a V b PdV= ∫ V a V b nR T H V dV= nR T H ln V b V a .

Det sker ingen förändring av dess inre energi under denna expansion, så den totala tillförda värmen måste vara nR T H ln V b V a , samma som det yttre arbete som gasen har utfört.

Denna isotermiska expansion är i själva verket bara det första steget: gasen har värmereservoarens temperatur, som är varmare än dess övrigaomgivning, och kommer att kunna fortsätta att expandera även om värmetillförseln avbryts. För att säkerställa att den fortsatta expansionen också är reversibel får gasen inte förlora värme till omgivningen. Det vill säga, efter det att värmetillförseln har avbrutits får det inte ske något ytterligare värmeutbyte med omgivningen, expansionen måste vara adiabatisk.

Steg 2: Adiabatisk expansion

Enligt definitionen tillförs ingen värme vid adiabatisk expansion, men arbete utförs.

Arbetet som gasen utför vid adiabatisk expansion liknar det arbete som en komprimerad fjäder utför när den expanderar mot en kraft – det är lika stort som det arbete som krävdes för att komprimera den från början, för en idealisk (och perfekt isolerad) gas. Så adiabatisk expansion är reversibel.

Vid adiabatisk expansion sjunker trycket brantare när volymen ökar, eftersom det i motsats till det isotermiska fallet inte tillförs någon värmeenergi till gasen när den expanderar, så det arbete som kolven kan utföra vid en stegvis expansion är nödvändigtvis mindre, och trycket måste bli lägre.

Carnot såg det naturligtvis inte på detta sätt, men det är bra att tänka på gasen i termer av molekyler som flyger runt och trycket från dem som studsar mot kolven. Titta på appleten här för att se hur en utvidgning av volymen utan tillförsel av värmeenergi sänker trycket. Vid isotermisk kompression eller expansion skulle den studsande bollens hastighet förbli konstant (energi utbytes med termiska vibrationer i väggarna när den studsade av).

Den inre energin hos n mol av en ideal gas vid temperaturen T är n C V T. Detta är (i vår moderna bild) molekylernas kinetiska energi och beror inte på gasens volym.Därför är förändringen av den inre energin vid adiabatisk expansion

W adiabat =n C V ( T c – T b ),

så detta är det arbete som utförs av gasen som expanderar mot det yttre trycket.

Steg 3 och 4: Slutföra cykeln

Vi har tittat i detalj på det arbete som en gas utför när den expanderar när värme tillförs (isotermiskt) och när det inte sker något värmeutbyte (adiabatiskt). Detta är de två inledande stegen i en värmemotor, men det är nödvändigt för motorn att komma tillbaka till det ställe där den började, för nästa cykel. Den allmänna idén är att kolven driver ett hjul (som i diagrammet i början av den här föreläsningen), som fortsätter att vrida sig och trycker tillbaka gasen till den ursprungliga volymen.

Men det är också viktigt att gasen är så kall som möjligt på denna retursträcka, eftersom hjulet nu måste lägga ner arbete på gasen, och vi vill att det ska vara så lite arbete som möjligt – det kostar oss pengar. Ju kallare gasen är, desto mindre tryck trycker hjulet mot.

För att se till att motorn är så effektiv som möjligt måste denna återvändsgränd till startpunkten ( P a , V a ) också vara reversibel. Vi kan inte bara återgå till den väg som togs under de två första etapperna, det skulle ta allt arbete som motorn utförde under dessa etapper och lämna oss utan nettoeffekt. Nu kyldes gasen under den adiabatiska expansionen från b till c, från T H till T C , så vi kan gå en bit tillbaka längs den reversibla kallare isotermen T C . Detta kan naturligtvis inte leda oss hela vägen tillbaka till ( P a , V a ), eftersom det är vid den varmare temperaturen T H . Det är dock lika uppenbart att vårt bästa är att förbli så kallt som möjligt så länge som möjligt, förutsatt att vi kan ta oss tillbaka till början på en reversibel väg (annars förlorar vi effektivitet). Det finns egentligen bara ett alternativ: vi stannar på den kalla isotermen tills vi möter den adiabat som passerar genom den ursprungliga punkten, och fullbordar sedan cykeln genom att gå uppför denna adiabat (kom ihåg att adiabaten är brantare än isotermerna).

För att föreställa dig Carnotcykeln i (P, V)-planet, minns du från föregående föreläsning grafen som visar två isotermer och två adiabater:

Carnotcykeln går runt den krökta fyrhörningen som har dessa fyra kurvor som sidor.

Låt oss rita om detta, något mindre realistiskt men mer bekvämt:

Carnotmotorns effektivitet

I en fullständig cykel i Carnots värmemotor följer gasen vägen abcd. Den viktiga frågan är: vilken andel av den värme som tillförs från den varma reservoaren (längs den röda isotermen), låt oss kalla den Q H , omvandlas till mekaniskt arbete? Denna andel är naturligtvis motorns verkningsgrad.

Då gasens inre energi är densamma i slutet av cykeln som i början – den är tillbaka till samma P och V – måste det vara så att det utförda arbetet är lika med den tillförda nettovärmen,

W= Q H – Q c ,

Q C är den värme som avges när gasen komprimeras längs den kalla isotermen.

Verkningsgraden är den andel av den tillförda värmen som faktiskt omvandlas till arbete, så

verkningsgrad = W Q H = Q H – Q C Q H .

Det här är svaret, men det är inte särskilt användbart: Det är ganska svårt att mäta värmeflödet, särskilt spillvärmen. Faktum är att man länge trodde att värmeflödet ut var lika stort som värmeflödet in, och detta verkade ganska trovärdigt eftersom verkningsgraden hos de tidiga motorerna var mycket låg.

Men det finns ett bättre sätt att uttrycka detta.

Nu är den värme som tillförs längs den inledande varma isotermiska vägen ab lika med det arbete som utförs längs den sträckan,(från stycket ovan om isotermisk expansion):

Q H =nR T H ln V b V a

och den värme som dumpas in i den kalla reservoaren längs cd är

Q C =nR T C ln V c V d .

Q H – Q C ser komplicerat ut, men det är det faktiskt inte!

Uttrycket kan förenklas avsevärt med hjälp av de adiabatiska ekvationerna för de andra två sidorna av cykeln:

T H V b γ-1 = T C V c γ-1 T H V a γ-1 = T C V d γ-1 .

Dividerar man den första av dessa ekvationer med den andra,

( V b V a )=( V c V d )

och använder detta i den föregående ekvationen för Q C ,

Q C =nR T C ln V a V b = T C T H Q H .

För Carnotcykeln är alltså förhållandet mellan tillförd och bortförd värme bara förhållandet mellan de absoluta temperaturerna!

Q H Q C = T H T C , eller Q H T H = Q C T C .

Håll detta i minnet: det kommer att vara viktigt för att utveckla entropibegreppet.

Det utförda arbetet kan nu skrivas enkelt:

W= Q H – Q C =( 1- T C T H ) Q H .

Motorns verkningsgrad, definierad som den del av den ingående värmeenergin som omvandlas till tillgängligt arbete, är därför

verkningsgrad = W Q H =1- T C T H .

Dessa temperaturer är naturligtvis i grader Kelvin, så till exempel är verkningsgraden för en Carnotmotor med en varm behållare med kokande vatten och en kall behållare med iskallt vatten 1-(273/373)=0,27 , dvs. drygt en fjärdedel av värmeenergin omvandlas till användbart arbete. Detta är samma uttryck som Carnot fann genom sin analogi med vattenhjulet.

Efter alla ansträngningar för att konstruera en effektiv värmemotor, göra den reversibel för att eliminera ”friktions”-förluster, etc., är det kanske en viss besvikelse att finna denna siffra på 27 % effektivitet när den fungerar mellan 0 ℃ och 100 ℃. När man i början av 1800-talet konstruerade de första ånglokomotiven fann man faktiskt att det effekt/viktförhållande som krävdes för att förflytta sig längs ett spår endast kunde uppnås genom högtryckspannor, det vill säga genom att koka vatten med ett tryck på några atmosfärer (upp till tio av dem). Vid ett tryck på 6 atmosfärer, till exempel, är kokningstemperaturen cirka 280 ℃, eller 550 K (kelvin), så om man arbetar mellan detta och rumstemperatur på 300 K får man en teoretisk verkningsgrad på cirka 250/550, eller 45 %, vilket är en stor förbättring.

förra index nästa PDF