Log-skala giver oplysninger om relative ændringer (multiplikative), mens lineær-skala giver oplysninger om absolutte ændringer (additive). Hvornår bruger man hver af dem? Når du interesserer dig for relative ændringer, skal du bruge log-skalaen; når du interesserer dig for absolutte ændringer, skal du bruge lineær-skalaen. Dette gælder for fordelinger, men også for enhver mængde eller ændringer i mængder.
Bemærk, at jeg bruger ordet “omsorg” her meget specifikt og med vilje. Uden en model eller et mål kan dit spørgsmål ikke besvares; modellen eller målet definerer, hvilken skala der er vigtig. Hvis du forsøger at modellere noget, og mekanismen virker via en relativ ændring, er log-skalaen afgørende for at indfange den adfærd, der ses i dine data. Men hvis den underliggende models mekanisme er additiv, skal du bruge lineær skala.
Eksempel. Aktiemarkedet.
Bestand A på dag 1: $\$$$$100. På dag 2: $\$$$101. Hver eneste aktieopfølgningstjeneste i verden rapporterer denne ændring på to måder! (1) +$\$$1. (2) +1%. Den første er et mål for absolut, additiv ændring; den anden er et mål for relativ ændring.
Illustration af relativ ændring vs. absolut: Relativ ændring er den samme, absolut ændring er forskellig
Aktie A går fra $\$$1 til $\$$1.10. Aktie B går fra $\$$100 til $\$$110.
Aktie A steg 10 %, aktie B steg 10 % (relativ skala, lige stor)
…men aktie A steg 10 cent, mens aktie B steg $\$$$10 (B steg mere absolut dollarbeløb)
Hvis vi konverterer til logaritme, vises relative ændringer som absolutte ændringer.
Aktie A går fra $\log_{10}(\$1)$ til $\log_{10}(\$1,10)$ = 0 til ,0413
Aktie B går fra $\log_{10}(\$100)$ til $\log_{10}(\$110)$ = 2 til 2.0413
Nu finder vi ved at tage den absolutte forskel i logaritmisk rum, at begge ændrede sig med ,0413.
Både disse mål for ændring er vigtige, og hvilket mål der er vigtigt for dig, afhænger udelukkende af din investeringsmodel. Der findes to modeller. (1) Investering med et fast beløb af hovedstolen, eller (2) investering i et fast antal aktier.
Model 1: Investering med et fast beløb af hovedstolen.
Sig i går kostede aktie A 1 $\$$ pr. aktie, og aktie B koster 100 $\$$ pr. aktie. I dag er de begge steget med en dollar til henholdsvis $\$$2 og $\$$101. Deres absolutte ændring er identisk ($\$$1), men deres relative ændring er dramatisk forskellig (100% for A, 1% for B). Da du har et fast beløb at investere, f.eks. 100 $, har du kun råd til 1 aktie i B eller 100 aktier i A. Hvis du investerede i går, ville du have 200 $ med A eller 101 $ med B. Så her “bekymrer” du dig altså om de relative gevinster, netop fordi du har et begrænset beløb at investere.
Model 2: fast antal aktier.
I et andet scenarie antager vi, at din bank kun lader dig købe i blokke af 100 aktier, og du har besluttet at investere i 100 aktier i A eller B. I det foregående tilfælde vil din gevinst være den samme, uanset om du køber A eller B ($\$$$100 – dvs. 1 $ for hver aktie).
Nu antager vi, at vi betragter en aktieværdi som en tilfældig variabel, der svinger over tid, og vi ønsker at finde frem til en model, der generelt afspejler, hvordan aktier opfører sig. Og lad os sige, at vi ønsker at bruge denne model til at maksimere profitten. Vi beregner en sandsynlighedsfordeling, hvis x-værdier er i enheder af “aktiekurs”, og y-værdier i sandsynligheden for at observere en given aktiekurs. Vi gør dette for aktie A og aktie B. Hvis du tilslutter dig det første scenario, hvor du har et fast beløb, som du ønsker at investere, vil det være informativt at tage logaritmen af disse fordelinger. Hvorfor? Det, man interesserer sig for, er fordelingens form i det relative rum. Om en aktie går fra 1 til 10 eller fra 10 til 100 er ligegyldigt for dig, ikke sandt? I begge tilfælde er der tale om en 10-dobbelt relativ gevinst. Dette forekommer naturligt i en log-skalafordeling, idet enhedsgevinster svarer direkte til foldgevinster. For to aktier, hvis middelværdi er forskellig, men hvis relative ændring er identisk fordelt (de har den samme fordeling af daglige procentvise ændringer), vil deres logfordelinger være identiske i form blot forskudt. Omvendt vil deres lineære fordelinger ikke være identiske i form, idet den højere værdisatte fordeling vil have en højere varians.
Hvis man skulle se på disse samme fordelinger i det lineære eller absolutte rum, ville man tro, at aktiekurser med højere værdi svarer til større udsving. Til dine investeringsformål, hvor kun relative gevinster har betydning, er dette dog ikke nødvendigvis sandt.
Eksempel 2. Kemiske reaktioner: Antag, at vi har to molekyler A og B, der gennemgår en reversibel reaktion.
$A\Leftrightarrow B$
som er defineret af de individuelle hastighedskonstanter
($k_{ab}$) $A\Rightarrow B$($k_{ba}$) $B\Rightarrow A$
Deres ligevægt er defineret ved forholdet:
$K=\frac{k_{ab}}}{k_{ba}}=\frac{}{}{}$
To punkter her. (1) Der er tale om en multiplikativ sammenhæng mellem koncentrationerne af $A$ og $B$. (2) Denne relation er ikke vilkårlig, men udspringer direkte af de grundlæggende fysisk-kemiske egenskaber, der styrer molekyler, der støder ind i hinanden og reagerer.
Nu antager vi, at vi har en eller anden fordeling af A’s eller B’s koncentration. Den passende skala for denne fordeling er i log-rummet, fordi modellen for, hvordan den ene eller den anden koncentration ændrer sig, er defineret multiplikativt (produktet af A’s koncentration med det inverse af B’s koncentration). I et alternativt univers, hvor $K^*=k_{ab}-k_{ba}=-$, kan vi se på denne koncentrationsfordeling i absolut, lineært rum.
Det sagt, hvis du har en model, hvad enten det er til forudsigelse af aktiemarkedet eller kemisk kinetik, kan du altid interkonvertere “tabsfrit” mellem lineært og logaritmisk rum, så længe dit værdiinterval er $(0,\inf)$. Om du vælger at se på den lineære eller log-skalafordeling afhænger af, hvad du forsøger at få ud af dataene.
EDIT. En interessant parallel, der hjalp mig med at opbygge en intuition, er eksemplet med aritmetiske gennemsnit vs. geometriske gennemsnit. Et aritmetisk (vanilla) gennemsnit beregner gennemsnittet af tal under antagelse af en skjult model, hvor absolutte forskelle er det, der betyder noget. Eksempel. Det aritmetiske gennemsnit af 1 og 100 er 50,5. Men lad os antage, at vi taler om koncentrationer, hvor det kemiske forhold mellem koncentrationer er multiplikativt. Så bør den gennemsnitlige koncentration i virkeligheden beregnes på log-skalaen. Dette kaldes det geometriske gennemsnit. Det geometriske gennemsnit af 1 og 100 er 10! Med hensyn til relative forskelle giver det mening: 10/1 = 10, og 100/10 = 10, dvs. at den relative ændring mellem gennemsnittet og to værdier er den samme. Additivt finder vi det samme; 50,5-1= 49,5, og 100-50,5 = 49,5.