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Michael Fowler

Die ultimative Kraftstoffeffizienz für eine Wärmekraftmaschine

Alle Standard-Wärmekraftmaschinen (Dampf, Benzin, Diesel) arbeiten, indem sie einem Gas Wärme zuführen, das sich dann in einem Zylinder ausdehnt und einen Kolben antreibt, um seine Arbeit zu verrichten. Es ist also leicht zu verstehen, wie man Wärme in Arbeit umwandelt, aber das ist eine einmalige Sache. Um einen brauchbaren Motor zu haben, muss sich dieser Vorgang ständig wiederholen. Die Wärme und/oder das Gas müssen also aus dem Zylinder abgelassen werden, bevor der nächste Zyklus beginnt, sonst wird die gesamte Arbeit, die das Gas bei der Expansion geleistet hat, bei der erneuten Kompression verbraucht!

In dieser Vorlesung wollen wir herausfinden, wie effizient eine solche Wärmekraftmaschine sein kann: Wie viel Arbeit können wir mit einer bestimmten Menge an Brennstoff in einem zyklischen Prozess erreichen? Wir werden hier das Modell auf das Wesentliche reduziert betrachten: ein ideales Gas ist in einem Zylinder eingeschlossen, mit externen thermischen Verbindungen, um Wärme zuzuführen und abzuführen, und einem reibungsfreien Kolben, damit das Gas mechanische Arbeit verrichten (und gegebenenfalls aufnehmen) kann:

Diese einfachste Wärmekraftmaschine wird als Carnot-Motor bezeichnet, für den ein vollständiger Heiz-/Kühl-, Expansions-/Kontraktionszyklus zurück zum ursprünglichen Gasvolumen und zur ursprünglichen Temperatur ein Carnot-Zyklus ist, benannt nach Sadi Carnot, der 1820 die korrekte Formel für den höchstmöglichen Wirkungsgrad einer solchen Wärmekraftmaschine in Form der maximalen und minimalen Gastemperaturen während des Zyklus ableitete.

Carnot kam zu folgendem Ergebnis: Wenn die höchste Temperatur, die das Gas erreicht, T H ist, und die kälteste Temperatur während des Zyklus T C ist (natürlich in Kelvin), dann ist der Bruchteil der zugeführten Wärmeenergie, der in mechanische Arbeit umgesetzt wird, der sogenannte Wirkungsgrad

Wirkungsgrad = T H – T C T H .

Dies war ein erstaunliches Ergebnis, denn es war genau richtig, obwohl es auf einem völligen Missverständnis der Natur der Wärme beruhte!

Wie das Verständnis des Wirkungsgrads von Wasserrädern der Schlüssel zum Verständnis der Wärmekraftmaschine war

Carnot glaubte, dass Wärme, wie Elektrizität, eine Flüssigkeit sei, die von heißen Dingen zu kalten Dingen fließt (und irgendwie durch den Raum als Strahlung).

Was motivierte Carnot, 1820 zu versuchen, den Wirkungsgrad von Dampf zu berechnen? Nun, es war die Zeit der industriellen Revolution, und die Effizienz der Energieversorgung bestimmte die Gewinnspanne.

Große Maschinen wurden vor allem in der Massenproduktion von Stoffen eingesetzt, in Fabriken, die Mühlen genannt wurden. Bis zum Ende des 17. Jahrhunderts befanden sich diese Mühlen an schnell fließenden Flüssen, die Kraftquelle war ein großes Wasserrad, das eine lange, sich drehende Stange antrieb, die sich über die gesamte Länge der Fabrik erstreckte. Über Seile wurden die einzelnen Webstühle, die von ungelernten Arbeitern, oft Kindern, bedient wurden, von den Rollen an dieser Stange angetrieben. Das Bild unten ist viel später (1914) und dampfbetrieben, zeigt aber das Antriebsschema.

Die Dampfmaschine bot eine attraktive Alternative: Sie musste nicht in der Nähe eines Flusses stehen. Aber im Gegensatz zur Wassermühle benötigte sie Kohle oder Holz als Brennstoff.

Da das Wasserrad bis zum Ende des 17. Jahrhunderts die wichtigste industrielle Energiequelle war, wurde viel darüber nachgedacht, wie man es so effizient wie möglich machen konnte, und da Carnot dachte, Wärme sei eine Flüssigkeit, nutzte er das Wasserraddenken bei der Analyse der Dampfmaschine. Wie kann man also ein Wasserrad so effizient wie möglich machen?

Das Wasser verliert potenzielle Energie, wenn es vom Rad nach unten befördert wird, so dass die höchstmögliche Energie mgh Watt beträgt, wobei m die Masse des pro Sekunde fließenden Wassers ist. (Wir ignorieren mögliche kinetische Energiebeiträge des einströmenden, schnell fließenden Wassers – dies ist ein sehr kleiner Effekt und gilt nicht für die Carnot’sche Wärmekraftmaschinenanalyse.)

Wie wird Energie verschwendet? Natürlich brauchen wir so wenig Reibung wie möglich im Rad. Die Strömung muss gleichmäßig sein: kein Wasser, das herumspritzt.

Das Wasser muss in das Rad hinein- und wieder herausfließen, ohne dass es eine nennenswerte Höhe verliert, sonst verliert es so viel potenzielle Energie, ohne Arbeit zu produzieren.

Ein perfektes Wasserrad wäre umkehrbar: Es könnte dazu benutzt werden, eine Kopie von sich selbst rückwärts anzutreiben, um die gleiche Menge Wasser pro Sekunde anzuheben, die gefallen ist.

Nebenbei: Ein modernes Wasserrad inVirginia

Es gibt in Virginia ein ziemlich effizientes Wasserrad: Es hat einen Wirkungsgrad von etwa 80 % – das Pumpspeicherkraftwerk BathCounty. Es handelt sich dabei um ein Wasserrad, das eigentlich eine Turbine ist, aber besser konstruiert auf dasselbe hinausläuft und in beide Richtungen funktioniert. Das Wasser aus dem oberen See fällt durch eine Rohrleitung in eine Turbine und in den unteren See, wodurch elektrische Energie erzeugt wird. Alternativ kann das Wasser auch mit elektrischer Energie wieder hochgepumpt werden. Warum die Mühe? Weil die Nachfrage nach Strom schwankt und es besser ist, möglichst keine Kraftwerke zu bauen, die nur zu Spitzenzeiten laufen. Es ist billiger, Strom in Zeiten geringer Nachfrage zu speichern.

Die Fallhöhe beträgt etwa 1200 Fuß, 380 Meter. Die Durchflussmenge beträgt etwa tausend Tonnen pro Sekunde. Die Anlage erzeugt etwa 3 Gigawatt, wesentlich mehr als ein Kernkraftwerk mit zwei Blöcken, wie North Anna.

Carnots Idee: ein „Wasserrad“ für Wärme

Carnots Überzeugung, dass Wärme eine Flüssigkeit ist (wir stellen sie uns immer noch so vor, wenn wir an Wärmeleitung oder, sagen wir, an Kochen denken), brachte ihn dazu, die Dampfmaschine parallel zu einem Wasserrad zu analysieren. Beim Wasserrad fällt das Wasser durch eine Gravitationspotentialdifferenz, und diese potentielle Energie wird durch das Rad in Arbeit umgewandelt. Die „elektrische Flüssigkeit“ sehen wir nun als eine Flüssigkeit, die elektrische potentielle Energie verliert und Arbeit oder Wärme erzeugt. Was ist nun mit dem „kalorischen Fluid“ (wie es genannt wurde)? Offensichtlich ist die Analogie zum Gravitationspotential nur die Temperatur! Wenn sich das Gas im Zylinder ausdehnt, verrichtet es Arbeit, aber seine Temperatur sinkt.

Carnot ging davon aus, dass die Dampfmaschine nichts anderes sei als ein Wasserrad für diese kalorische Flüssigkeit, so dass die effizienteste Maschine eine minimale Reibung haben würde, aber auch, in Analogie zum Wasser, das sanft und ohne zwischenzeitlichen Höhenverlust in das Rad ein- und ausströmt, würde die Wärme isotherm in das Gas in der Maschine ein- und ausströmen (denken Sie daran, dass die Temperatur analog zum Gravitationspotential ist, also die Höhe). In Analogie zu gh misst also der Temperaturabfall T H – T C die potentielle Energie, die von einer Einheit des „Wärmefluids“ abgegeben wird.

Die effizienteste Dampfmaschine hätte einen isothermen Wärmeaustausch (vernachlässigbare Temperaturunterschiede beim Wärmeaustausch), wie das effizienteste Wasserrad (nur ein winziges Gefälle, wenn das Wasser in das Rad eintritt und es verlässt). Natürlich ist dies die theoretische Grenze: ein gewisses Gefälle ist für den Betrieb notwendig. Aber der wichtige Punkt ist, dass im Grenzfall des perfekten Wirkungsgrads sowohl die Maschine als auch das Wasserrad reversibel sind – wenn ihnen Arbeit zugeführt wird, können sie diese in die gleiche Wärmemenge umwandeln, die sie benötigen würden, um die Arbeit überhaupt erst zu erzeugen.

Aber wie verhält sich das zu der Energie, die aufgewendet wurde, um die Wärme überhaupt erst zu erzeugen? Nun, Carnot wusste noch etwas anderes: Es gab einen absoluten Nullpunkt der Temperatur. Wenn man also die Flüssigkeit auf den absoluten Nullpunkt abkühlte, so seine Überlegung, würde sie ihre gesamte Wärmeenergie abgeben. Die maximal mögliche Energiemenge, die man durch Abkühlung von T H auf T C gewinnen kann, ist also der Bruchteil, den man durch Abkühlung auf den absoluten Nullpunkt erhält.

Es ist einfach T H – T C T H !

Natürlich ist das Bild der kalorischen Flüssigkeit nicht richtig, aber dieses Ergebnis schon! Das ist der maximale Wirkungsgrad eines perfekten Motors: und denk daran, dieser Motor ist reversibel. Wir werden später sehen, wie wir diese wichtige Tatsache nutzen können.

Effiziente Ausbeute an Arbeit aus einem heißen Gas: Isotherme und adiabatische Strömungen

Wenden wir uns nun den Details zu, wie man die meiste Arbeit aus einem erhitzten Gas herausholt. Es gibt zwei Möglichkeiten, den Kolben reversibel zu bewegen: isotherm, d.h. Wärme fließt allmählich aus einem Reservoir mit einer Temperatur, die sich nur unwesentlich von der des Gases im Kolben unterscheidet, zu oder ab, und adiabatisch, d.h. es findet überhaupt kein Wärmeaustausch statt, das Gas verhält sich einfach wie eine Feder.

Wenn also Wärme zugeführt wird und sich das Gas ausdehnt, muss die Temperatur des Gases die gleiche bleiben wie die der Wärmezufuhr (des „Wärmereservoirs“): Das Gas dehnt sich isotherm aus. Ebenso muss es sich später im Zyklus isotherm zusammenziehen, wenn es Wärme abgibt.

Um den Wirkungsgrad zu ermitteln, müssen wir den Motor über einen kompletten Zyklus hinweg verfolgen und herausfinden, wie viel Arbeit er verrichtet, wie viel Wärme er aus dem Brennstoff aufnimmt und wie viel Wärme er abgibt, um sich auf den nächsten Zyklus vorzubereiten. Der Zyklus besteht aus vier Schritten: einer isothermen Ausdehnung, wenn Wärme aufgenommen wird, gefolgt von einer adiabatischen Ausdehnung, dann einer isothermen Kontraktion, wenn Wärme abgegeben wird, und schließlich einer adiabatischen Kontraktion zur ursprünglichen Konfiguration. Wir gehen Schritt für Schritt vor.

Schritt 1: Isotherme Expansion

Die erste Frage lautet also: Wie viel Wärme wird zugeführt und wie viel Arbeit wird verrichtet, wenn sich das Gas isotherm ausdehnt? Nimmt man die Temperatur des Wärmereservoirs mit T H ( H für heiß) an, so folgt das expandierende Gas dem isothermen Weg PV=nR T H in der Ebene ( P,V ).

Die vom Gas bei einer kleinen Volumenexpansion ΔV verrichtete Arbeit ist einfach PΔV, die Fläche unter der Kurve (wie wir in der letzten Vorlesung bewiesen haben).

Die Arbeit, die bei der isothermen Ausdehnung vom Volumen V a auf V b verrichtet wird, ist also die Gesamtfläche unter der Kurve zwischen den beiden Werten,

die isotherm verrichtete Arbeit= ∫ V a V b PdV= ∫ V a V b nR T H V dV= nR T H ln V b V a .

Da sich die innere Energie des Gases bei dieser Expansion nicht ändert, muss die zugeführte Gesamtwärme nR T H ln V b V a gleich der vom Gas geleisteten externen Arbeit sein.

Tatsächlich ist diese isotherme Expansion nur der erste Schritt: Das Gas hat die Temperatur des Wärmespeichers, die höher ist als die seiner Umgebung, und kann sich weiter ausdehnen, selbst wenn die Wärmezufuhr unterbrochen wird. Um sicherzustellen, dass diese weitere Ausdehnung auch reversibel ist, darf das Gas keine Wärme an die Umgebung verlieren. Das heißt, nach dem Abschalten der Wärmezufuhr darf kein weiterer Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfinden, die Expansion muss adiabatisch sein.

Schritt 2: Adiabatische Ausdehnung

Bei der adiabatischen Ausdehnung wird definitionsgemäß keine Wärme zugeführt, sondern Arbeit verrichtet.

Die Arbeit, die das Gas bei der adiabatischen Ausdehnung verrichtet, ist vergleichbar mit der einer zusammengedrückten Feder, die sich gegen eine Kraft ausdehnt – bei einem idealen (und perfekt isolierten) Gas entspricht sie der Arbeit, die erforderlich ist, um das Gas überhaupt erst zusammenzudrücken. Die adiabatische Ausdehnung ist also reversibel.

Bei der adiabatischen Ausdehnung fällt der Druck mit zunehmendem Volumen steiler ab, weil dem Gas bei der Ausdehnung im Gegensatz zum isothermen Fall keine Wärmeenergie zugeführt wird, so dass die Arbeit, die der Kolben bei einer schrittweisen Ausdehnung leisten kann, notwendigerweise geringer ist, der Druck muss also niedriger sein.

Natürlich hat Carnot das nicht so gesehen, aber es ist hilfreich, sich das Gas als herumfliegende Moleküle vorzustellen und den Druck, der von ihnen auf den Kolben ausgeübt wird. Schauen Sie sich das Applet an, um zu sehen, wie die Ausdehnung des Volumens ohne Zufuhr von Wärmeenergie den Druck senkt. Bei isothermer Kompression oder Expansion würde die Geschwindigkeit der abprallenden Kugel konstant bleiben (Energieaustausch mit thermischen Schwingungen in den Wänden beim Abprallen).

Die innere Energie von n Molen eines idealen Gases bei der Temperatur T ist n C V T. Dies ist (in unserem modernen Bild) die kinetische Energie der Moleküle und hängt nicht von dem vom Gas eingenommenen Volumen ab.

Die Änderung der inneren Energie bei adiabatischer Ausdehnung ist also

W adiabat =n C V ( T c – T b ),

dies ist also die Arbeit, die das Gas bei der Ausdehnung gegen den Außendruck leistet.

Schritte 3 und 4: Vervollständigung des Kreislaufs

Wir haben die Arbeit, die ein Gas bei der Ausdehnung verrichtet, wenn Wärme zugeführt wird (isotherm) und wenn kein Wärmeaustausch stattfindet (adiabatisch), eingehend betrachtet. Dies sind die beiden ersten Schritte in einer Wärmekraftmaschine, aber für den nächsten Zyklus muss der Motor wieder an seinen Ausgangspunkt zurückkehren. Die allgemeine Idee ist, dass der Kolben ein Rad antreibt (wie im Diagramm zu Beginn dieser Vorlesung), das sich weiterdreht und das Gas zurück in das ursprüngliche Volumen drückt.

Aber es ist auch wichtig, dass das Gas auf diesem Rückweg so kalt wie möglich ist, weil das Rad jetzt Arbeit auf das Gas ausüben muss, und wir wollen, dass das so wenig Arbeit wie möglich ist – es kostet uns. Je kälter das Gas ist, desto geringer ist der Druck, gegen den das Rad drückt.

Damit der Motor so effizient wie möglich arbeitet, muss dieser Rückweg zum Ausgangspunkt ( P a , V a ) auch reversibel sein. Wir können nicht einfach den Weg der ersten beiden Etappen zurückverfolgen, denn das würde die gesamte Arbeit, die der Motor auf diesen Etappen geleistet hat, mitnehmen, und wir hätten keine Nettoleistung mehr. Nun hat sich das Gas während der adiabatischen Expansion von b nach c abgekühlt, z. B. von T H nach T C, so dass wir eine gewisse Strecke entlang der reversiblen kälteren Isotherme T C zurückgehen können. Das kann uns natürlich nicht bis zu ( P a , V a ) zurückbringen, denn dort liegt die heißere Temperatur T H . Es ist aber auch klar, dass es am besten ist, so lange wie möglich in der Kälte zu bleiben, vorausgesetzt, wir können auf einem reversiblen Weg zum Ausgangspunkt zurückkehren (sonst verlieren wir an Effizienz). Es gibt eigentlich nur eine Möglichkeit: Wir bleiben auf der kalten Isotherme, bis wir auf die Adiabat treffen, die durch den Ausgangspunkt verläuft, und schließen dann den Zyklus ab, indem wir diese Adiabat hinaufgehen (denken Sie daran, dass die Adiabaten steiler sind als die Isothermen).

Um sich den Carnot-Zyklus in der (P, V)-Ebene vorzustellen, erinnere dich an das Diagramm aus der vorangegangenen Vorlesung, das zwei Isothermen und zwei Adiabaten zeigt:

Der Carnot-Zyklus verläuft um dieses gekrümmte Viereck mit diesen vier Kurven als Seiten.

Zeichnen wir dies neu, etwas weniger realistisch, aber bequemer:

Wirkungsgrad des Carnot-Motors

In einem vollständigen Zyklus des Carnotschen Wärmekraftmotors durchläuft das Gas den Weg abcd. Die wichtige Frage lautet: Welcher Anteil der aus dem heißen Reservoir (entlang der roten oberen Isotherme) zugeführten Wärme, nennen wir ihn Q H , wird in mechanische Arbeit umgewandelt? Dieser Bruchteil ist natürlich der Wirkungsgrad des Motors.

Da die innere Energie des Gases am Ende des Zyklus die gleiche ist wie am Anfang – es hat wieder den gleichen P und V – muss die geleistete Arbeit gleich der zugeführten Nettowärme sein,

W= Q H – Q c ,

Q C ist die Wärme, die bei der Kompression des Gases entlang der kalten Isotherme abgegeben wird.

Der Wirkungsgrad ist der Anteil der zugeführten Wärme, der tatsächlich in Arbeit umgewandelt wird, also

Wirkungsgrad = W Q H = Q H – Q C Q H .

Das ist die Antwort, aber sie ist nicht besonders nützlich: Die Messung des Wärmestroms, insbesondere der Abwärme, ist ziemlich schwierig. Tatsächlich glaubte man lange Zeit, dass der Wärmestrom nach außen gleich dem nach innen ist, und das schien recht plausibel, weil der Wirkungsgrad der frühen Motoren sehr niedrig war.

Aber es gibt eine bessere Möglichkeit, dies auszudrücken.

Nun ist die Wärme, die auf dem anfänglichen heißen isothermen Weg ab zugeführt wird, gleich der Arbeit, die auf diesem Weg verrichtet wird (aus dem obigen Absatz über isothermische Expansion):

Q H =nR T H ln V b V a

und die Wärme, die in das kalte Reservoir entlang cd abgeleitet wird, ist

Q C =nR T C ln V c V d .

Q H – Q C sieht kompliziert aus, ist es aber nicht!

Der Ausdruck kann stark vereinfacht werden, wenn man die adiabatischen Gleichungen für die beiden anderen Seiten des Kreislaufs verwendet:

T H V b γ-1 = T C V c γ-1 T H V a γ-1 = T C V d γ-1 .

Dividiert man die erste dieser Gleichungen durch die zweite,

( V b V a )=( V c V d )

und setzt sie in die vorhergehende Gleichung für Q C ein,

Q C =nR T C ln V a V b = T C T H Q H .

Das Verhältnis von zugeführter zu abgeführter Wärme ist beim Carnotkreislauf also nur das Verhältnis der absoluten Temperaturen!

Q H Q C = T H T C , oder Q H T H = Q C T C .

Dies ist wichtig für die Entwicklung des Entropiekonzepts.

Die geleistete Arbeit kann nun einfach geschrieben werden:

W= Q H – Q C =( 1- T C T H ) Q H .

Der Wirkungsgrad des Motors, definiert als der Anteil der zugeführten Wärmeenergie, der in verfügbare Arbeit umgewandelt wird, ist daher

Wirkungsgrad = W Q H =1- T C T H .

Diese Temperaturen sind natürlich in Grad Kelvin angegeben, so dass beispielsweise der Wirkungsgrad eines Carnot-Motors mit einem heißen Reservoir mit kochendem Wasser und einem kalten Reservoir mit eiskaltem Wasser 1-(273/373)=0,27 beträgt, d.h. etwas mehr als ein Viertel der Wärmeenergie wird in nützliche Arbeit umgewandelt. Dies ist genau derselbe Wert, den Carnot in seiner Wasserrad-Analogie gefunden hat.

Nach all den Bemühungen, eine effiziente Wärmekraftmaschine zu konstruieren, sie umkehrbar zu machen, um „Reibungsverluste“ zu eliminieren usw., ist es vielleicht etwas enttäuschend, diese Zahl von 27% Wirkungsgrad zu finden, wenn sie zwischen 0℃ und 100℃ arbeitet. Als Anfang des 19. Jahrhunderts die ersten Dampflokomotiven konstruiert wurden, stellte man fest, dass das für die Fortbewegung auf einem Gleis erforderliche Verhältnis zwischen Leistung und Gewicht nur mit Hochdruckkesseln erreicht werden konnte, d. h. mit Wasser, das bei einem Druck von einigen (bis zu zehn) Atmosphären kochte. Bei 6 Atmosphären Druck, zum Beispiel, ist die Siedetemperatur etwa 280℃, oder sagen wir 550K (Kelvin), so dass der Betrieb zwischen diesem und der Raumtemperatur bei 300K einen theoretischen Wirkungsgrad von etwa 250/550, oder 45%, eine große Verbesserung gibt.

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