La escala logarítmica informa sobre los cambios relativos (multiplicativos), mientras que la escala lineal informa sobre los cambios absolutos (aditivos). ¿Cuándo se utiliza cada una de ellas? Cuando te preocupes por los cambios relativos, utiliza la escala logarítmica; cuando te preocupes por los cambios absolutos, utiliza la escala lineal. Esto es cierto para las distribuciones, pero también para cualquier cantidad o cambios en las cantidades.
Nota, aquí utilizo la palabra «cuidado» de forma muy específica e intencionada. Sin un modelo o un objetivo, no se puede responder a tu pregunta; el modelo o el objetivo definen qué escala es importante. Si estás tratando de modelar algo, y el mecanismo actúa a través de un cambio relativo, la escala logarítmica es fundamental para capturar el comportamiento observado en tus datos. Pero si el mecanismo del modelo subyacente es aditivo, querrá utilizar la escala lineal.
Ejemplo. Mercado de valores.
La acción A en el día 1: $\$100. En el día 2, $\$101. Todos los servicios de seguimiento de acciones del mundo informan de este cambio de dos maneras. (1) +$\$$1. (2) +1%. La primera es una medida de cambio absoluto, aditivo; la segunda una medida de cambio relativo.
Ilustración del cambio relativo frente al absoluto: El cambio relativo es el mismo, el cambio absoluto es diferente
La acción A pasa de 1$ a 1,10$.La acción B pasa de 100$ a 110$.
La acción A ganó un 10%, la acción B ganó un 10% (escala relativa, igual)
…pero la acción A ganó 10 centavos, mientras que la acción B ganó $\$$10 (B ganó más cantidad absoluta de dólares)
Si convertimos a espacio logarítmico, los cambios relativos aparecen como cambios absolutos.
La acción A pasa de $\log_{10}(\$1)$ a $\log_{10}(\$1,10)$ = 0 a .0413
La acción B pasa de $\log_{10}(\$100)$ a $\log_{10}(\$110)$ = 2 a 2.0413
Ahora, tomando la diferencia absoluta en el espacio logarítmico, encontramos que ambas cambiaron en 0,0413.
Ambas medidas de cambio son importantes, y cuál es importante para usted depende únicamente de su modelo de inversión. Hay dos modelos. (1) Invertir una cantidad fija de capital, o (2) invertir en un número fijo de acciones.
Modelo 1: Invertir con una cantidad fija de capital.
Supongamos que ayer la acción A costaba 1$ por acción, y la acción B cuesta 100$ por acción. Hoy ambas han subido un dólar, a 2 y 101 dólares respectivamente. Su cambio absoluto es idéntico (1$), pero su cambio relativo es muy diferente (100% para A, 1% para B). Dado que tiene una cantidad fija de capital para invertir, digamos $\$100, sólo puede permitirse 1 acción de B o 100 acciones de A. Si invirtiera ayer tendría $\$200 con A, o $\$101 con B. Así que aquí le «importan» las ganancias relativas, específicamente porque tiene una cantidad finita de capital.
Modelo 2: número fijo de acciones.
En un escenario diferente, suponga que su banco sólo le permite comprar en bloques de 100 acciones, y usted ha decidido invertir en 100 acciones de A o B. En el caso anterior, tanto si compra A como B sus ganancias serán las mismas ($\$$100 – es decir, 1$ por cada acción).
Suponga ahora que pensamos en el valor de una acción como una variable aleatoria que fluctúa a lo largo del tiempo, y queremos llegar a un modelo que refleje de forma general cómo se comportan las acciones. Y supongamos que queremos utilizar este modelo para maximizar el beneficio. Calculamos una distribución de probabilidad cuyos valores x están en unidades de «precio de la acción», y los valores y en probabilidad de observar un determinado precio de la acción. Hacemos esto para la acción A, y la acción B. Si suscribes el primer escenario, donde tienes una cantidad fija de capital que quieres invertir, entonces tomar el logaritmo de estas distribuciones será informativo. ¿Por qué? Lo que le interesa es la forma de la distribución en el espacio relativo. Que una acción vaya de 1 a 10, o de 10 a 100 no te importa, ¿verdad? Ambos casos son una ganancia relativa de 10 veces. Esto aparece de forma natural en una distribución de escala logarítmica, ya que las ganancias unitarias se corresponden directamente con las ganancias de los pliegues. Para dos acciones cuyo valor medio es diferente pero cuyo cambio relativo se distribuye de forma idéntica (tienen la misma distribución de cambios porcentuales diarios), sus distribuciones logarítmicas tendrán una forma idéntica sólo que desplazada. Por el contrario, sus distribuciones lineales no tendrán una forma idéntica, ya que la distribución de mayor valor tendrá una varianza mayor.
Si observara estas mismas distribuciones en el espacio lineal, o absoluto, pensaría que los precios de las acciones de mayor valor corresponden a mayores fluctuaciones. Sin embargo, para sus fines de inversión, donde sólo importan las ganancias relativas, esto no es necesariamente cierto.
Ejemplo 2. Reacciones químicas. Supongamos que tenemos dos moléculas A y B que sufren una reacción reversible.
$A\NFlecha izquierda B$
que viene definida por las constantes de velocidad individuales
($k_{ab}$) $A\NFlecha derecha B$($k_{ba}$) $B\NFlecha derecha A$
Su equilibrio viene definido por la relación:
$K=\frac{k_{ab}}{k_{ba}}=\frac{}{}$
Dos puntos aquí. (1) Esta es una relación multiplicativa entre las concentraciones de $A$ y $B$. (2) Esta relación no es arbitraria, sino que surge directamente de las propiedades físico-químicas fundamentales que rigen las moléculas que chocan entre sí y reaccionan.
Supongamos ahora que tenemos alguna distribución de la concentración de A o B. La escala apropiada de esa distribución está en el espacio logarítmico, porque el modelo de cómo cambia cualquiera de las dos concentraciones se define multiplicativamente (el producto de la concentración de A con la inversa de la concentración de B). En algún universo alternativo donde $K^*=k_{ab}-k_{ba}=-$, podríamos mirar esta distribución de la concentración en el espacio absoluto, lineal.
Eso dijo, si usted tiene un modelo, ya sea para la predicción del mercado de valores o la cinética química, siempre se puede interconvertir ‘sin pérdida’ entre el espacio lineal y log, siempre y cuando su rango de valores es $(0,\inf)$. El hecho de que elijas mirar la distribución lineal o la de escala logarítmica depende de lo que estés tratando de obtener de los datos.
EDIT. Un paralelo interesante que me ayudó a construir la intuición es el ejemplo de las medias aritméticas frente a las geométricas. Una media aritmética (vainilla) calcula la media de los números asumiendo un modelo oculto donde lo que importa son las diferencias absolutas. Ejemplo. La media aritmética de 1 y 100 es 50,5. Pero supongamos que estamos hablando de concentraciones, donde la relación química entre las concentraciones es multiplicativa. Entonces, la concentración media debería calcularse realmente en la escala logarítmica. Esto se llama media geométrica. ¡La media geométrica de 1 y 100 es 10! En términos de diferencias relativas, esto tiene sentido: 10/1 = 10, y 100/10 = 10, es decir, el cambio relativo entre la media y dos valores es el mismo. Adicionalmente encontramos lo mismo; 50,5-1= 49,5, y 100-50,5 = 49,5.