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Espiral, curva plana que, en general, serpentea alrededor de un punto alejándose cada vez más del mismo. Se conocen muchos tipos de espirales, las primeras datan de la época de la antigua Grecia. Las curvas se observan en la naturaleza, y el ser humano las ha utilizado en máquinas y en ornamentos, sobre todo arquitectónicos -por ejemplo, el verticilo de un capitel jónico-. A continuación se describen las dos espirales más famosas.

Aunque el matemático griego Arquímedes no descubrió la espiral que lleva su nombre (véase la figura), la empleó en su obra Sobre las espirales (c. 225 a.C.) para cuadrar el círculo y trisecar un ángulo. La ecuación de la espiral de Arquímedes es r = aθ, en la que a es una constante, r es la longitud del radio desde el centro, o principio, de la espiral, y θ es la posición angular (cantidad de rotación) del radio. Como los surcos de un disco de fonógrafo, la distancia entre las sucesivas vueltas de la espiral es una constante-2πa, si θ se mide en radianes.

La espiral equiangular, o logarítmica (ver figura) fue descubierta por el científico francés René Descartes en 1638. En 1692, el matemático suizo Jakob Bernoulli la denominó spira mirabilis («espiral milagrosa») por sus propiedades matemáticas; está tallada en su tumba. La ecuación general de la espiral logarítmica es r = aeθ cot b, en la que r es el radio de cada vuelta de la espiral, a y b son constantes que dependen de la espiral en particular, θ es el ángulo de rotación a medida que la curva gira en espiral, y e es la base del logaritmo natural. Mientras que las sucesivas vueltas de la espiral de Arquímedes están igualmente espaciadas, la distancia entre las sucesivas vueltas de la espiral logarítmica aumenta en una progresión geométrica (como 1, 2, 4, 8,…). Entre sus otras propiedades interesantes, cada rayo procedente de su centro interseca cada vuelta de la espiral en un ángulo constante (equiangular), representado en la ecuación por b. Además, para b = π/2 el radio se reduce a la constante a, es decir, a un círculo de radio a. Esta curva aproximada se observa en las telas de araña y, con mayor precisión, en el molusco de cámara, el nautilus (ver fotografía), y en ciertas flores.

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