IllustrationEdit
En un tiro penal de fútbol, el pateador debe elegir si patea hacia el lado derecho o izquierdo de la portería, y simultáneamente el portero debe decidir hacia dónde bloquearlo. Además, el pateador tiene una dirección en la que es mejor patear, que es la izquierda si es diestro. La matriz del juego de fútbol ilustra esta situación, una forma simplificada del juego estudiado por Chiappori, Levitt y Groseclose (2002). Se asume que si el portero adivina correctamente, el tiro es bloqueado, lo que se fija en el pago base de 0 para ambos jugadores. Si el portero adivina mal, es más probable que la patada entre si es hacia la izquierda (pagos de +2 para el pateador y -2 para el portero) que si es hacia la derecha (el pago más bajo de +1 para el pateador y -1 para el portero).
| Pateador | |||
| Se inclina hacia la izquierda | Se inclina hacia la derecha | ||
| Pateador | Se inclina hacia la izquierda | 0, 0 | +2, -2 |
| Patada Derecha | +1, -1 | 0, 0 | |
| Pago del Juego de Fútbol (Pateador, Portero) | |||
Este juego no tiene un equilibrio de estrategia pura, porque uno u otro jugador se desviaría de cualquier perfil de estrategias-por ejemplo, (Izquierda, Izquierda) no es un equilibrio porque el Pateador se desviaría a la Derecha y aumentaría su recompensa de 0 a 1.
El equilibrio de estrategia mixta del pateador se encuentra a partir del hecho de que se desviará de la aleatorización a menos que sus payoffs de Patear a la Izquierda y Patear a la Derecha sean exactamente iguales. Si el portero se inclina hacia la izquierda con una probabilidad g, la recompensa esperada del pateador con el tiro a la izquierda es g(0) + (1-g)(2), y con el tiro a la derecha es g(1) + (1-g)(0). Al igualar estos resultados se obtiene g= 2/3. Del mismo modo, el portero está dispuesto a aleatorizar sólo si el pateador elige una probabilidad de estrategia mixta k tal que la recompensa de Lean Left de k(0) + (1-k)(-1) es igual a la recompensa de Lean Right de k(-2) + (1-k)(0), por lo que k = 1/3. Por lo tanto, el equilibrio de estrategia mixta es (Prob(Kick Left) = 1/3, (Prob(Lean Left) = 2/3).
Nótese que en el equilibrio, el pateador patea hacia su mejor lado sólo 1/3 de las veces. Esto se debe a que el portero vigila más ese lado. Obsérvese también que en el equilibrio, al pateador le es indiferente hacia qué lado patea, pero para que sea un equilibrio debe elegir exactamente 1/3 de probabilidad.
Chiappori, Levitt y Groseclose intentan medir la importancia que tiene para el pateador patear hacia su lado favorecido, añaden los pateos centrales, etc., y observan cómo se comportan realmente los jugadores profesionales. Descubren que sí son aleatorios, y que los pateadores patean hacia su lado favorecido el 45% de las veces y los porteros se inclinan hacia ese lado el 57% de las veces. Su artículo es bien conocido como un ejemplo de cómo la gente en la vida real utiliza estrategias mixtas a pesar de no ser matemáticamente sofisticada.
SignificanceEdit
En su famoso artículo, John Forbes Nash demostró que hay un equilibrio para cada juego finito. Uno puede dividir los equilibrios de Nash en dos tipos. Los equilibrios de Nash de estrategia pura son aquellos en los que todos los jugadores juegan con estrategias puras. Los equilibrios de Nash de estrategia mixta son aquellos en los que al menos un jugador juega con una estrategia mixta. Aunque Nash demostró que todo juego finito tiene un equilibrio de Nash, no todos tienen equilibrios de Nash de estrategia pura. Para un ejemplo de un juego que no tiene un equilibrio de Nash en estrategias puras, véase Emparejar centavos. Sin embargo, muchos juegos sí tienen equilibrios de Nash en estrategia pura (por ejemplo, el juego de coordinación, el dilema del prisionero, la caza del ciervo). Además, los juegos pueden tener equilibrios de estrategia pura y de estrategia mixta. Un ejemplo fácil es el juego de coordinación puro, donde además de las estrategias puras (A,A) y (B,B) existe un equilibrio mixto en el que ambos jugadores juegan cualquiera de las dos estrategias con probabilidad 1/2.
Interpretaciones de las estrategias mixtasEditar
Durante la década de 1980, el concepto de estrategias mixtas fue muy criticado por ser «intuitivamente problemático», ya que se trata de equilibrios de Nash débiles, y a un jugador le resulta indiferente seguir la probabilidad de su estrategia de equilibrio o desviarse hacia alguna otra probabilidad. el teórico del juego Ariel Rubinstein describe formas alternativas de entender el concepto. La primera, debida a Harsanyi (1973), se denomina purificación, y supone que la interpretación de las estrategias mixtas refleja simplemente nuestro desconocimiento de la información y el proceso de decisión de los jugadores. Las elecciones aparentemente aleatorias se ven entonces como consecuencias de factores exógenos no especificados e irrelevantes para el pago.Una segunda interpretación imagina que los jugadores del juego representan una gran población de agentes. Cada uno de los agentes elige una estrategia pura, y la retribución depende de la fracción de agentes que eligen cada estrategia. La estrategia mixta representa, por tanto, la distribución de las estrategias puras elegidas por cada población. Sin embargo, esto no proporciona ninguna justificación para el caso de que los jugadores sean agentes individuales.
Más tarde, Aumann y Brandenburger (1995), reinterpretaron el equilibrio de Nash como un equilibrio en creencias, en lugar de en acciones. Por ejemplo, en el juego de piedra, papel y tijera, un equilibrio en las creencias haría que cada jugador creyera que el otro tiene la misma probabilidad de jugar cada estrategia. Sin embargo, esta interpretación debilita el poder descriptivo del equilibrio de Nash, ya que en dicho equilibrio es posible que cada jugador juegue realmente una estrategia pura de Roca en cada jugada del juego, aunque a lo largo del tiempo las probabilidades sean las de la estrategia mixta.
Estrategia de comportamientoEditar
Mientras que una estrategia mixta asigna una distribución de probabilidad sobre las estrategias puras, una estrategia de comportamiento asigna en cada conjunto de información una distribución de probabilidad sobre el conjunto de acciones posibles. Aunque los dos conceptos están muy relacionados en el contexto de los juegos de forma normal, tienen implicaciones muy diferentes para los juegos de forma extensiva. A grandes rasgos, una estrategia mixta elige aleatoriamente un camino determinista a través del árbol del juego, mientras que una estrategia de comportamiento puede verse como un camino estocástico.
La relación entre las estrategias mixtas y de comportamiento es el tema del teorema de Kuhn, una perspectiva conductista sobre las hipótesis tradicionales de la teoría de juegos. El resultado establece que en cualquier juego finito de forma extensiva con recuerdo perfecto, para cualquier jugador y cualquier estrategia mixta, existe una estrategia de comportamiento que, frente a todos los perfiles de estrategias (de otros jugadores), induce la misma distribución sobre los nodos terminales que la estrategia mixta. Lo contrario también es cierto.
Un ejemplo famoso de por qué se requiere un recuerdo perfecto para la equivalencia lo dan Piccione y Rubinstein (1997) con su juego del conductor distraído.