Spirale, courbe plane qui, en général, s’enroule autour d’un point en s’éloignant toujours plus de ce point. De nombreuses sortes de spirales sont connues, les premières datant de l’époque de la Grèce antique. Les courbes sont observées dans la nature, et l’homme les a utilisées dans des machines et dans l’ornementation, notamment architecturale – par exemple, la spirale d’un chapiteau ionique. Les deux spirales les plus célèbres sont décrites ci-dessous.
Bien que le mathématicien grec Archimède n’ait pas découvert la spirale qui porte son nom (voir figure), il l’a employée dans son ouvrage Sur les spirales (vers 225 av. J.-C.) pour résoudre la quadrature du cercle et la trisection d’un angle. L’équation de la spirale d’Archimède est r = aθ, où a est une constante, r est la longueur du rayon à partir du centre, ou début, de la spirale, et θ est la position angulaire (degré de rotation) du rayon. Comme les sillons d’un disque phonographique, la distance entre les tours successifs de la spirale est une constante-2πa, si θ est mesuré en radians.
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La spirale équiangulaire, ou logarithmique, (voir figure) a été découverte par le scientifique français René Descartes en 1638. En 1692, le mathématicien suisse Jakob Bernoulli l’a nommée spira mirabilis (« spirale miraculeuse ») pour ses propriétés mathématiques ; elle est gravée sur sa tombe. L’équation générale de la spirale logarithmique est r = aeθ cot b, dans laquelle r est le rayon de chaque tour de la spirale, a et b sont des constantes qui dépendent de la spirale particulière, θ est l’angle de rotation lorsque la courbe s’enroule en spirale, et e est la base du logarithme naturel. Alors que les tours successifs de la spirale d’Archimède sont équidistants, la distance entre les tours successifs de la spirale logarithmique augmente selon une progression géométrique (telle que 1, 2, 4, 8,…). Parmi ses autres propriétés intéressantes, chaque rayon partant de son centre coupe chaque tour de la spirale selon un angle constant (équiangulaire), représenté dans l’équation par b. De plus, pour b = π/2, le rayon se réduit à la constante a – autrement dit, à un cercle de rayon a. Cette courbe approximative est observée dans les toiles d’araignée et, à un degré plus précis, dans le mollusque à chambre, le nautile (voir photographie), et dans certaines fleurs.
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Avec l’aimable autorisation de l’American Museum of Natural History, New York
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