Fern

Itt egy friss kérdés a svédországi Pehr olvasótól:

Hi,
Először is, csodálatos oldal. Imádom.
A polárkoordinátákról szóló részt tanulmányoztam, remélve, hogy bővíthetem a tudásomat az egyenlőszögű spirálról. Az interaktív eszközök nagyszerűek, bár nehezen tudom levezetni a pontos matematikai megoldást arra, hogy miért
r = ae^(b(theta)) az arany spirál eredő függvénye.

Pehr kérdésének hátterét lásd:

Poláris koordináták, görbék poláris koordinátákban és egyenlő szögű spirál

A spirálok gyakoriak a természetben, és évszázadok óta inspirálják a matematikusokat.


Aloe spirál


Spirál galaxis NGC 5194

Logaritmikus spirál

A Pehr által kérdezett Arany spirál a logaritmikus spirál egy speciális esete.

A logaritmikus spirálok úgy nőnek, hogy a spirál középpontja és a görbe adott ponton lévő érintője közötti egyenes szöge állandó. Ezért nevezik őket “egyenlő szögű” spiráloknak is.

Hogy lássuk, mit jelent ez, az alábbi páfrányképen jelölt 3 hegyesszög körülbelül 80°


Egyenlő szögű páfrány

A spirálok leírásakor általában polárkoordinátákban megadott függvényeket használunk. Ellenkező esetben, ha közönséges derékszögű koordinátákat használunk, a képletek nagyon bonyolulttá válnak.

A logaritmikus spirál képlete polárkoordinátákat használva a következő:

r = aeθ cot b

ahol

r az origótól (vagy “pólustól”) mért távolság

a egy állandó

θ a vízszintes tengelytől mért szög (radiánban). Tehát a görbe egy pontjának koordinátáit polárkoordinátákban (r, θ) adja meg.

b az a szög (radiánban – az “egyenlő” szög), amelyet a spirál középpontjából kiinduló egyenes a spirál érintőjével bezár. A fenti páfrányfenyő esetében b ≈ 1,4 radián (≈ 80°).

A logaritmikus spirál meghatározásának módjából következik, hogy egy szomszédos pár egyes spirálkarjainak középpontjától mért távolságok aránya állandó.


Spirálkarok állandó arányban

Az első kar távolsága

:második kar távolsága

= 29:69

≈ 0.42

A másik arány

távolság a második kartól: távolság a harmadik kartól

= 69:154

≈ 0,45

Láthatjuk, hogy az arányok közel azonosak. (Egy tényleges logaritmikus spirálban pontosan megegyeznek. A páfrány spirál kezdőpontjának kiválasztása nem egzakt tudomány!)

Aranyspirál

Az aranyspirál a logaritmikus spirál egy speciális esete.

Az általános logaritmikus spirált a következőképpen írhatjuk fel függvényként polárkoordinátákban t segítségével:

r(t) = aet cot b

Megjegyzés: Általában θ-t használjuk a független változónak, de gyakran t-t használunk, mivel a spirál időbeli követésére gondolhatunk. Különben is, könnyebb beírni!

Az aranyspirálnak olyan különleges tulajdonsága van, hogy minden 1/4 fordulat (90° vagy π/2 radiánban) esetén a spirál középpontjától mért távolság a φ = 1,6180 aranymetszéssel nő.

Ezért a cot b értéket kell felvennie (ami a függvényünk megoldásából származik):

Ezt az értéket felhasználva, és azt az egyszerű esetet véve, amikor a = 1, a függvényünk a következő lesz:

r(t) = e0.30635t

A továbbiakban a kiváló ingyenes grafikus eszközt, a GeoGebrát fogjuk használni.

Az aranyspirál felállítása a GeoGebra segítségével

Ha most a GeoGebrában ábrázoljuk függvényünket a közönséges derékszögű koordinátatengelyeken, a következő exponenciális görbét kapjuk. Vegyük észre, hogy az r egyre nagyobb ütemben növekszik (meredekebbé válik), ahogy t növekszik.

De ahhoz, hogy spirált lássunk, a görbét polárkoordinátákkal kell ábrázolnunk.

Azért, hogy a Geogebrában a polárformát (ami megvan) átkonvertáljuk derékszögű formára (amire a grafikonhoz szükségünk van), a következő függvényt kell felállítanunk és ábrázolnunk:

a(t) = (r(t) cos(t), r(t) sin(t))

Helyettesítsünk be néhány fontos értéket, hogy lássuk, mit jelent ez a kifejezés. A t = 0-ból kiindulva megkapjuk a görbe kezdőpontját:

a(0) = (r(0) cos(0), r(0) sin(0))

= (1×1, 1×0)

= (1, 0)

Ez tehát azt jelenti, hogy a pozitív x tengely mentén az origótól 1 egységnyire indulunk. A kiindulópontot a spirál következő grafikonján láthatjuk.

A következőkben elforgatunk egy negyed fordulatot, és t = π/2-nél találjuk,

a(π/2) = (r(π/2) cos(π/2), r(π/2) sin(π/2))

= (1,618×0, 1,618×1)

= (0, 1,618)

Megjegyezzük, hogy most 1,618 egységnyire vagyunk az origótól az y tengelyen felfelé. Vagyis φ = a kiindulási távolság 1,6180-szorosa.

Egy újabb negyed fordulatos elforgatással elérjük a t = π értéket, ahol:

a(π) = (r(π) cos(π), r(π) sin(π))

= (-2,618×1, -2,618×0)

= (-2,618, 0)

Most 2,618 egységnyire vagyunk az origótól a negatív x tengely mentén, vagy φ = 1,6180-szorosa annak a távolságnak, amennyire az origótól az utolsó negyed fordulatnál voltunk.

Jegyzet:

φ2 = 2,6180

A következő helyzetünket, a negatív y-tengely mentén, kiszámíthatjuk úgy, hogy ezt az utolsó értéket egyszerűen megszorozzuk φ = 1,6180-zal, így kapjuk:

φ3 = 4,23606…

A spirál tehát az y-tengelyt a (0, -4,236) ponton fogja metszeni.

Még egy negyed fordulat és elérjük a φ4 = 6,85410… egységet a pozitív y-tengely mentén, azaz (6,854, 0).

A fenti spirálgrafikonunkon láthatjuk, hogy ezek az értékek helyesek.

Ha továbbmegyünk, akkor a következő spirált kapjuk (ez 2 teljes fordulat, vagy 4π = 720°):

Mellesleg, mivel ebben a feladatban

cot b = 0.30635

akkor

b = arccot 0,30635 = 1,274 radián vagy kb. 73°

Ez az a szög, amit a spirálkarunk a spirál középpontjából kiinduló egyenessel bezár. A fenti grafikonon láthatjuk, hogy minden spirálkar 73°-os szöget zár be az x-tengellyel (és az y-tengellyel, vagy a középpontból kiinduló bármely vonallal).

Az aranyspirál megközelítése körívek segítségével

Az aranyspirálhoz nagyon hasonló spirált kaphatunk, ha olyan köríveket használunk, amelyek mérete az aranymetszéssel nő, az alábbiak szerint.

Egy 1×1-es négyzettel kezdünk, és rajzolunk egy ívet, C középponttal, 2 sarkon keresztül úgy, hogy a négyzet oldalai az ívet érintsék (vagyis csak egyszer érintsék egymást).

A következő lépésben egy φ = 1 oldalhosszúságú négyzetet helyezünk el.6180 az első négyzetünk fölé, és konstruálunk egy újabb körívet, középpontja E, mint korábban:

A következő négyzetünk balra kerül, és oldalhosszúsága φ2 = 2,6180 = 1 + φ.

Folytatjuk a mintát (egy újabb teljes kört mentünk), és egy olyan spirált kapunk, amely nagyon hasonlít a korábbi Arany-spirálunkhoz.

Mennyire közelítjük meg?

A Wikipedia Arany-spirál szócikkében van egy kép, amely azt állítja, hogy a fenti spirál és az Arany-spirál nagyon közel állnak egymáshoz.

Itt van ez a kép:

A kép felirata szerint:

Megközelítő és valódi aranyspirál: a zöld spirál az egyes négyzetek belsejét érintő negyedkörökből áll, míg a piros spirál egy aranyspirál, a logaritmikus spirál egy speciális típusa. Az átfedő részek sárgának tűnnek. Egy nagyobb négyzet oldalának a következő kisebb négyzethez viszonyított hossza az aranymetszésben van.

Meg tudjuk ezt újraalkotni ?

A lenti képen a piros görbe a fentebb konstruált aranyspirál első része, míg a zöld görbe a negyedkörös közelítésen alapul, amin az imént dolgoztunk.

Az F pont a spirál “legjobb” pontja, ami a negyedkörös ív kiindulópontja lesz számomra. A J pont a spirál ezen részének legmagasabb pontja.

A pont az F-en és J-n áthaladó vízszintes és függőleges egyenesek metszéspontja, és ez lesz az ívem középpontja.

A GF ív most egyáltalán nem áll közel a spirál FJ kapcsolódó részéhez.

Tegyünk még egy lépést, és nézzük meg, hogy a következő rész jobb-e.

Mint láthatjuk, rosszabb lett (ahogy várható volt, hiszen távolabb kerültünk az origótól, és a spirálkar egyre nagyobb).

Láthatóan ez soha nem fog működni.

Mégis a korábbi Aranyspirálomban használtam:

r(t) = e0.30635t

A konstans a, értéke 1 volt.

Ha azt akarjuk, hogy a közelítő íveink jól illeszkedjenek a tényleges Aranyspirálhoz, akkor (valószínűleg nem meglepő módon)

a = φ = 1.618103399 értéket kell használnunk…

Az alábbi görbéket kapjuk, hasonlóan a Wikipédiában található grafikonhoz.

A piros görbe az Aranyspirál,

r(t) = 1,618013 e0,30635t

A zöld görbe a körívek gyűjteménye.

A négyzetek oldalhossza (pixelben) látható, és láthatjuk, hogy megközelítőleg 1,618013 arányban vannak…

Az Aranyspirál a médiában

From Wolfram’s Mathworld:

A CBS televízió Criminal Minds című bűnügyi drámájának 4. évadának “Masterpiece” (2008) című epizódjában az FBI viselkedéselemző egységének ügynökei egy sorozatgyilkossal kerülnek szembe, aki a Fibonacci-számsorozatot használja arra, hogy meghatározza az egyes gyilkossági epizódjai áldozatainak számát. Ebben az epizódban a karakter Dr. Reid azt is észreveszi, hogy a gyilkosságok helyszínei egy arany spirál grafikonján helyezkednek el, és a spirál közepére haladva Reid meg tudja határozni a gyilkos bázisának helyét.

Itt még több érdekes információ a Wolfram’s Mathworldből:

Logaritmikus spirál

A kockáknak – design az aranyspirállal

Sokak szerint az aranymetszést és az aranyspirált használó design kellemes a szemnek.

Még a Twitter is az aranyspirál segítségével tervezte át nemrég a főoldalát.

Itt van egy nagyszerű cikk egy fickótól, aki képek nélkül konstruált egy arany spirált. (Főleg a webdesign iránt érdeklődőknek)

Az arany spirál képek nélkül – CSS és jQuery segítségével

A cikk szerint az elefánt ormánya is közel áll az arany spirálhoz.


Elefánt ormány – majdnem egy Arany Spirál

Következtetés

Az Arany Spirál egy érdekes téma – amit nem csak a kellemes minták miatt érdemes követni, hanem a mögöttük álló érdekes matematika miatt is.

Remélem, ez segít megválaszolni a kérdésedet, Pehr!

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé.