A log-skála a relatív változásokról (multiplikatív), míg a lineáris skála az abszolút változásokról (additív) tájékoztat. Mikor használod mindkettőt? Ha a relatív változásokkal törődsz, használd a log-skálát; ha az abszolút változásokkal törődsz, használd a lineáris skálát. Ez igaz az eloszlásokra, de bármely mennyiségre vagy a mennyiségek változásaira is.
Megjegyzem, itt nagyon konkrétan és szándékosan használom az “érdekel” szót. Modell vagy cél nélkül a kérdésedre nem lehet válaszolni; a modell vagy a cél határozza meg, hogy melyik skála a fontos. Ha valamit modellezni próbálsz, és a mechanizmus relatív változáson keresztül hat, a log-skála kritikus az adatokban látható viselkedés megragadásához. Ha azonban az alapul szolgáló modell mechanizmusa additív, akkor lineáris skálát kell használnia.
Példa. Tőzsde.
A részvény A az 1. napon: $\$$$100. A 2. napon: 101 dollár. Ezt a változást a világ összes részvénykövető szolgáltatása kétféleképpen jelenti! (1) +$\$$1. (2) +1%. Az első az abszolút, additív változás mértéke; a második a relatív változás mértéke.
A relatív változás és az abszolút változás szemléltetése: Az A részvény $\$$1-ről $\$$1,10-re változik.A B részvény $\$$100-ról $\$$110-re változik.
A részvény A 10%-kal nőtt, a részvény B 10%-kal nőtt (relatív skála, egyenlő)
…de az A részvény 10 centet nyert, míg a B részvény $\$$$10-et (B abszolút dollárban többet nyert)
Ha átváltunk logaritmusra, a relatív változások abszolút változásként jelennek meg.
A részvény A $\log_{10}(\$1)$-ról $\log_{10}(\$1.10)$-ra = 0-ról .0413-ra
A részvény B $\log_{10}(\$100)$-ról $\log_{10}(\$110)$-ra = 2-ről 2-re változik.0413
Most, ha a log-tér abszolút különbségét vesszük, azt találjuk, hogy mindkettő .0413-mal változott.
A változás mindkét mérőszáma fontos, és hogy melyik a fontos az Ön számára, az kizárólag az Ön befektetési modelljétől függ. Két modell létezik. (1) Befektetés fix tőkeösszeggel, vagy (2) befektetés fix számú részvénybe.
1. modell: Befektetés fix tőkeösszeggel.
Tegyük fel, hogy tegnap az A részvény ára $\$$1 részvényenként, a B részvény ára pedig $\$$100 részvényenként. Ma mindkettő egy dollárral emelkedett, 2 $\$$-ra, illetve 101 $\$$-ra. Az abszolút változásuk azonos (1 $\$$$), de a relatív változásuk drámaian különbözik (100% az A esetében, 1% a B esetében). Tekintettel arra, hogy fix összegű tőkével rendelkezel, mondjuk $\$$$100, csak 1 részvényt engedhetsz meg magadnak B-ből vagy 100 részvényt A-ből. Ha tegnap fektetnél be, akkor $\$$200 lenne A-nál, vagy $\$$101 B-nél. Itt tehát a relatív nyereség “érdekel”, mégpedig azért, mert véges összegű tőkével rendelkezel.
2. modell: fix számú részvény.
Egy másik forgatókönyv szerint tegyük fel, hogy a bankod csak 100 darabos tömbökben engedi vásárolni, és úgy döntöttél, hogy 100 darab A vagy B részvénybe fektetsz. Az előző esetben akár A-t, akár B-t veszel, a nyereséged ugyanaz lesz ($\$$$100 – azaz 1 dollár minden részvényért).
Tegyük fel most, hogy a részvények értékét véletlen változónak tekintjük, amely időben ingadozik, és olyan modellt akarunk kitalálni, amely általánosságban tükrözi a részvények viselkedését. És tegyük fel, hogy ezt a modellt a profit maximalizálására akarjuk használni. Kiszámítunk egy valószínűségi eloszlást, amelynek x-értékei a “részvényárfolyam” mértékegységében, y-értékei pedig egy adott részvényárfolyam megfigyelésének valószínűségében vannak megadva. Ezt megtesszük az A részvényre, és a B részvényre. Ha az első forgatókönyv szerint járunk el, ahol van egy fix összegű tőkénk, amit be akarunk fektetni, akkor ezen eloszlások logaritmusának felvétele informatív lesz. Miért? Önt az eloszlás alakja érdekli a relatív térben. Az, hogy egy részvény 1-től 10-ig, vagy 10-től 100-ig megy, nem számít neked, igaz? Mindkét esetben 10-szeres relatív nyereségről van szó. Ez egy logaritmikus eloszlásban természetesen úgy jelenik meg, hogy az egységnyi nyereség közvetlenül megfelel a sokszoros nyereségnek. Két olyan részvény esetében, amelyek átlagértéke eltérő, de a relatív változásuk azonos eloszlású (a napi százalékos változások eloszlása azonos), a log-eloszlásuk alakja azonos lesz, csak eltolva. Ezzel szemben lineáris eloszlásuk nem lesz azonos alakú, a magasabb értékű eloszlásnak nagyobb a szórása.
Ha ugyanezeket az eloszlásokat lineáris vagy abszolút térben néznénk, azt gondolnánk, hogy a magasabb értékű részvényárfolyamok nagyobb ingadozásoknak felelnek meg. Az Ön befektetési céljaira azonban, ahol csak a relatív nyereség számít, ez nem feltétlenül igaz.
2. példa. Kémiai reakciók: Tegyük fel, hogy van két A és B molekulánk, amelyek egy reverzibilis reakción mennek keresztül.
$A\Billegő B$
amelyet az egyes sebességállandók határoznak meg
($k_{ab}$) $A\Billegő B$($k_{ba}$) $B\Billegő A$
Az egyensúlyukat az összefüggés határozza meg:
$K=\\frac{k_{ab}}{k_{ba}}=\frac{}{}{}$
Két pont itt. (1) Ez egy multiplikatív összefüggés az $A$ és $B$ koncentrációi között. (2) Ez az összefüggés nem önkényes, hanem közvetlenül azokból az alapvető fizikai-kémiai tulajdonságokból adódik, amelyek a molekulák egymásnak ütközését és reakcióját szabályozzák.
Tegyük fel, hogy van valamilyen eloszlás A vagy B koncentrációjára vonatkozóan. Ennek az eloszlásnak a megfelelő skálája a log-térben van, mert a modell, ahogyan bármelyik koncentráció változik, multiplikatív módon van meghatározva (A koncentrációjának szorzata B koncentrációjának inverzével). Egy alternatív univerzumban, ahol $K^*=k_{ab}-k_{ba}=-$, ezt a koncentrációeloszlást abszolút, lineáris térben nézhetnénk.
Ez azt jelenti, hogy ha van egy modellünk, legyen szó akár tőzsdei előrejelzésről vagy kémiai kinetikáról, mindig “veszteségmentesen” átválthatunk a lineáris és a log-tér között, amíg az értéktartomány $(0,\inf)$. Az, hogy a lineáris vagy a log-skála szerinti eloszlást választja-e, attól függ, hogy mit akar kapni az adatokból.
EDIT. Egy érdekes párhuzam, amely segített az intuíció kialakításában, a számtani átlagok vs. geometriai átlagok példája. Az aritmetikai (vaníliás) átlag számok átlagát számítja ki, feltételezve egy rejtett modellt, ahol az abszolút különbségek számítanak. Példa. Az 1 és a 100 számtani átlaga 50,5. Tegyük fel, hogy koncentrációkról beszélünk, ahol a koncentrációk közötti kémiai kapcsolat multiplikatív. Akkor az átlagos koncentrációt valóban a logaritmikus skálán kell kiszámítani. Ezt nevezzük mértani átlagnak. Az 1 és a 100 mértani átlaga 10! A relatív különbségek szempontjából ennek van értelme: 10/1 = 10, és 100/10 = 10, azaz az átlag és a két érték közötti relatív változás ugyanaz. Additívan ugyanezt találjuk; 50,5-1= 49,5, és 100-50,5 = 49,5.