IllustrationEdit
サッカーのペナルティキックでは、キッカーはゴールの右側と左側のどちらに蹴るか選択しなければならず、同時にゴール係はどちらでブロックするかを決めなければなりません。 また、キッカーには得意なシュート方向があり、右足であれば左です。 サッカーゲームの行列はこの状況を示しており、Chiappori, Levitt, and Groseclose (2002)が研究したゲームを単純化したものである。 これは、ゴールキーパーが正しく推測した場合、キックはブロックされると仮定しており、両プレイヤーの基本報酬を0とするものである。 ゴールテンダーが間違った推測をした場合、キックは右方向（キッカーに+1、ゴールテンダーに-1という低いペイオフ）よりも左方向（キッカーに+2、ゴールテンダーに-2というペイオフ）の方が入る確率が高くなる。
| Goalie | |||
| Lean Left | Lean Right | ||
| Kicker | Kick Left | 0、0 | +2, -2 |
| Kick Right | +1, -1 | 0, 0 | |
このゲームには純粋戦略均衡はない。なぜなら、どちらかのプレイヤーが戦略のプロファイルから逸脱してしまうからで、例えば（左、左）は均衡しない。
キッカーの混合戦略均衡は、左キックと右キックのペイオフが全く同じでない限り、ランダム化から外れるという事実から見いだされたものである。 ゴールキーパーが確率gで左に傾く場合、キッカーの左キックの期待値はg(0)+(1-g)(2)、右キックの期待値はg(1)+(1-g)(0)である。 これらを等式化すると、g=2/3となる。 同様に、ゴールキーパーは、Lean Left のペイオフ k(0) + (1-k)(-1) が Lean Right のペイオフ k(-2) + (1-k)(0) と等しいような混合戦略確率 k をキッカーが選択した場合にのみランダム化を希望するのでk = 1/3 となる。 したがって，混合戦略均衡は (Prob(Kick Left) = 1/3, (Prob(Lean Left) = 2/3) となる。
なお，均衡では，キッカーは1/3の時間だけ得意な側に蹴ることになる。 それはゴールキーパーがその側をより多く守っているからです。 6575>
Chiappori, Levitt, and Grosecloseは、キッカーが自分の有利な側に蹴ることがどれだけ重要かを測定しようと、センターキックなどを追加し、プロの選手が実際にどのように振る舞うかを調べている。 彼らは、ランダム化を行い、キッカーは45％の確率で自分の有利なサイドに蹴り、ゴールキーパーは57％の確率でそのサイドに傾くことを発見している。 6575>
SignificanceEdit
John Forbes Nashは有名な論文で、すべての有限なゲームには均衡が存在することを証明した。 ナッシュ均衡は2つのタイプに分けることができる。 純粋戦略ナッシュ均衡は、すべてのプレイヤーが純粋戦略をとっている場合のナッシュ均衡である。 混合戦略ナッシュ均衡は、少なくとも一人のプレイヤーが混合戦略でプレイしている均衡である。 ナッシュは全ての有限ゲームがナッシュ均衡を持つことを証明したが、全てのゲームが純粋戦略ナッシュ均衡を持つわけではない。 純粋戦略のナッシュ均衡を持たないゲームの例として、マッチング・ペニーを参照。 しかし、多くのゲームは純粋戦略ナッシュ均衡を持つ（例：調整ゲーム、囚人のジレンマ、クワガタ狩りなど）。 さらに、ゲームは純粋戦略均衡と混合戦略均衡の両方を持つことができる。 簡単な例として、純粋な調整ゲームでは、純粋戦略（A,A）と（B,B）に加えて、両プレイヤーが確率1/2でいずれかの戦略をとる混合戦略が存在する。
混合戦略の解釈 編集
1980年代、混合戦略の概念は、弱いナッシュ均衡であり、プレイヤーは自分の均衡戦略確率に従うか他の確率に逸脱するかについて無関心なので、「直感的に問題がある」として激しい攻撃を受けた。ゲーム理論家のアリエル・ルビンシュタインは、この概念の別の理解方法について述べている。 第一はHarsanyi (1973)によるもので、純化と呼ばれ、混合戦略の解釈は単にプレイヤーの情報と意思決定過程に関する我々の知識の欠如を反映しているに過ぎないと仮定している。 第二の解釈は，ゲーム・プレーヤーがエージェントの大きな集団であるとするものである． 各エージェントは純粋戦略を選択し、ペイオフは各戦略を選択するエージェントの割合に依存する。 したがって，混合戦略は，各集団が選択する純粋戦略の分布を表している． しかし、これではプレイヤーが個々のエージェントである場合の正当性が説明できない。
その後、Aumann and Brandenburger (1995) はナッシュ均衡を行動ではなく、信念における均衡として再解釈している。 例えば、ジャンケンでは、各プレイヤーは相手が各戦略を行う可能性が等しいと信じていることが信念における均衡である。 しかしこの解釈はナッシュ均衡の説明力を弱める。このような均衡では、時間の経過とともに確率が混合戦略であっても、各プレイヤーが実際には純粋な戦略であるロックをプレイすることが可能だからである。 この2つの概念は正規形ゲームの文脈では非常に密接に関連しているが、広範形ゲームでは非常に異なる意味合いを持つ。 大雑把に言えば、混合戦略はゲーム木を通る決定論的経路をランダムに選択し、行動戦略は確率的経路と見なすことができる。
混合戦略と行動戦略の関係は、従来のゲーム理論的仮説に対する行動的展望であるKuhnの定理の主題となっている。 この結果は、完全想起を伴う有限の広範形式ゲームにおいて、任意のプレーヤーと任意の混合戦略に対して、（他のプレーヤーの）戦略のすべてのプロファイルに対して、混合戦略と同じ終端ノード上の分布を誘導する行動戦略が存在することを立証している。 その逆もまた真である。
同等性のために完全想起が必要な理由として、Piccione and Rubinstein (1997) の Absent-Minded Driver game が有名である。