Wanneer je aan een vector denkt, roepen veel mensen waarschijnlijk de definitie van Vector op (uit Despicable Me). Hij zegt:
Het is een wiskundige term. Een grootheid voorgesteld door een pijl met zowel richting als magnitude. Vector! Dat ben ik–omdat ik misdaden bega met zowel richting als magnitude! Oh ja!
Ok, maar echt. Wat is een vector? Ik vind de volgende definitie goed (en dit is de definitie die ik in de klas aan leerlingen geef).
Vector: een grootheid met meer dan één element (meer dan één stukje informatie).
Dat is niet de beste definitie, maar het is beter dan “magnitude en richting”. De beste manier om vectoren te begrijpen is misschien door naar enkele voorbeelden te kijken. Stel, ik ben in een kamer en ik beweeg me naar verschillende plaatsen om de temperatuur te meten. De temperatuur op een bepaalde plaats heeft slechts één element (zoals 22° C). Omdat temperatuur slechts één element bevat, noemen we het een scalair. Andere voorbeelden van scalars zijn: massa, elektrische lading, vermogen, elektrisch potentiaalverschil.
Stel nu dat ik naar verschillende punten in de kamer ga om de luchtstroom te bepalen. Op elke plaats kan de lucht zich in drie verschillende richtingen (x,y,z) verplaatsen. Om de luchtsnelheid op elke plaats te meten, heb ik dus 3 elementen nodig. We noemen deze luchtsnelheid een vector (een 3 dimensionale vector) omdat hij drie stukjes informatie bevat. Andere voorbeelden van vectoren zijn: krachten, elektrische velden, versnelling, verplaatsing.
Kan je vectoren hebben met meer of minder dan 3 elementen? Ja. In inleidende natuurkundecursussen is het gebruikelijk om vectoren met slechts 2 dimensies (x en y) te bekijken, gewoon om de dingen eenvoudiger te maken. Maar vectoren kunnen ook 4 of 5 of zelfs meer dimensies hebben. Het enige probleem met vectoren van een hogere orde is dat het moeilijker is om ze te visualiseren in een driedimensionale ruimte.
De nulvector
Hier is het echte probleem met de “magnitude en richting” definitie van een vector–de nulvector. Stel dat je een verplaatsing in 2 dimensies wilt weergeven. Als je begint bij de oorsprong en 3 meter in de x-richting en -2 in de y-richting verplaatst, zou je dat kunnen schrijven als:
Als je wilde, zou je de magnitude van deze vectorverplaatsing kunnen vinden met een waarde van 3,61 meter. Je zou ook de “richting” van deze vector kunnen vinden en zeggen dat hij 33,7° onder de x-as ligt. Maar wat als je de verplaatsing wilt weergeven die nergens heen gaat? Ik zou dit gemakkelijk kunnen schrijven als de volgende vector:
Kan ik de magnitude van die vector vinden? Ja, het is heel eenvoudig om te zien dat de vector een magnitude van nul meter heeft. Hoe zit het met de richting? Als de verplaatsing nergens heen ging, kun je niet echt zeggen welke richting het was. Het beste antwoord is te zeggen dat de richting onbepaald is. Dit is dus een geval van een verplaatsing met nul magnitude en een ongedefinieerde richting. Is het een vector? Absoluut. Ben ik kieskeurig over de definitie van een vector? Waarschijnlijk wel.
De nulvector in de natuurkunde
De nulvector is niet nul. Voor alle duidelijkheid: ik kan de volgende twee vergelijkingen schrijven:
Dit zijn verschillende grootheden. Je kunt een vectorgrootheid niet gelijkstellen aan een scalaire grootheid. Je kunt het gewoon niet doen. Het gebeurt echter wel. Deze vergelijking stond in een zeer recente inleidende natuurkundetekst. Dit is precies hoe de vergelijking in de tekst werd weergegeven.
Het tekstboek probeerde het idee te laten zien van een voorwerp in evenwicht. In evenwicht is de totale kracht op het voorwerp de nulvector. Deze vergelijking zegt echter dat de totale som van de vectorkrachten gewoon gelijk is aan nul (de scalaire). Oh, misschien gebruiken ze 0 om de nulvector voor te stellen? Dat zou een plausibele verklaring zijn als ze geen pijlen gebruikten om andere vectoren voor te stellen. Nee, de nulvector is nog steeds een vector. De beste manier om deze vergelijking weer te geven zou zijn:
In deze versie is er een vector gelijk aan een vector. Dat is beter.
Laat ik eindigen met twee opmerkingen. Ten eerste heb ik het al eerder over vectoren gehad. Een van mijn favoriete berichten is dit antwoord aan Khan Academy over vectoren. In wezen is dit het tweede deel van een discussie over het oplossen van kinematische problemen waarin ik betoog dat je nog steeds vectoren kunt gebruiken, zelfs als het een eendimensionaal probleem is. Ten tweede, als je vectoren gelijk wil stellen aan de nulvector, zorg er dan voor dat je het de nulvector noemt en niet gewoon “nul”.