Skala logiczna informuje o zmianach względnych (multiplikatywnych), podczas gdy skala liniowa informuje o zmianach bezwzględnych (addytywnych). Kiedy używać każdej z nich? Gdy zależy ci na zmianach względnych, użyj skali logicznej; gdy zależy ci na zmianach bezwzględnych, użyj skali liniowej. Jest to prawdziwe dla rozkładów, ale także dla każdej wielkości lub zmian w wielkościach.
Uwaga, używam słowa „troska” tutaj bardzo konkretnie i celowo. Bez modelu lub celu nie można odpowiedzieć na twoje pytanie; model lub cel definiuje, która skala jest ważna. Jeśli próbujesz coś modelować, a mechanizm działa poprzez względną zmianę, skala log jest krytyczna dla uchwycenia zachowania widzianego w twoich danych. Ale jeśli mechanizm leżący u podstaw modelu jest addytywny, będziesz chciał użyć skali liniowej.
Przykład. Rynek akcji.
Stock A w dniu 1: $100$. W drugim dniu: 101$. Każda usługa śledzenia akcji na świecie zgłasza tę zmianę na dwa sposoby! (1) +$\$$1. (2) +1%. Pierwszy jest miarą zmiany bezwzględnej, addytywnej; drugi miarą zmiany względnej.
Ilustracja zmiany względnej vs bezwzględnej: Zmiana względna jest taka sama, zmiana bezwzględna jest inna
Stock A idzie z $1$ na $1,10.Stock B idzie z $100$ na $110.
Stock A zyskał 10%, stock B zyskał 10% (skala względna, równa)
…ale akcja A zyskała 10 centów, podczas gdy akcja B zyskała 10 dolarów (B zyskała więcej bezwzględnej kwoty dolara)
Jeśli przekonwertujemy na przestrzeń logarytmiczną, zmiany względne pojawiają się jako zmiany bezwzględne.
Stock A przechodzi z $log_{10}(1$)$ do $log_{10}(1,10$)$ = 0 do .0413
Stock B przechodzi z $log_{10}(100$)$ do $log_{10}(110$)$ = 2 do 2.0413
Teraz, biorąc pod uwagę bezwzględną różnicę w przestrzeni log, stwierdzamy, że obie zmieniły się o .0413.
Obydwie miary zmian są ważne, a to, która z nich jest dla Ciebie ważna, zależy wyłącznie od Twojego modelu inwestowania. Istnieją dwa modele. (1) Inwestowanie stałej kwoty kapitału lub (2) inwestowanie w stałą liczbę akcji.
Model 1: Inwestowanie stałej kwoty kapitału.
Powiedzmy, że wczoraj akcja A kosztowała $1$ za akcję, a akcja B $100$ za akcję. Dzisiaj obie podrożały o jeden dolar, odpowiednio do $2$ i $101$. Ich bezwzględna zmiana jest identyczna (1$), ale ich zmiana względna jest dramatycznie różna (100% dla A, 1% dla B). Biorąc pod uwagę, że masz stałą kwotę kapitału do zainwestowania, powiedzmy $100$, możesz sobie pozwolić tylko na 1 akcję B lub 100 akcji A. Gdybyś zainwestował wczoraj, miałbyś $200$ z A lub $101$ z B. Tak więc tutaj „dbasz” o względne zyski, szczególnie dlatego, że masz skończoną kwotę kapitału.
Model 2: stała liczba akcji.
W innym scenariuszu załóżmy, że Twój bank pozwala Ci kupować tylko w blokach po 100 akcji, a Ty zdecydowałeś się zainwestować w 100 akcji A lub B. W poprzednim przypadku, niezależnie od tego, czy kupisz A czy B, Twój zysk będzie taki sam (100$ – czyli 1$ za każdą akcję).
Załóżmy teraz, że myślimy o wartości akcji jako o zmiennej losowej zmieniającej się w czasie i chcemy wymyślić model, który odzwierciedlałby ogólnie to, jak zachowują się akcje. I powiedzmy, że chcemy użyć tego modelu do maksymalizacji zysku. Obliczamy rozkład prawdopodobieństwa, którego wartości x są w jednostkach „cena akcji”, a wartości y w prawdopodobieństwie zaobserwowania danej ceny akcji. Robimy to dla akcji A i akcji B. Jeżeli przyjmiemy pierwszy scenariusz, w którym mamy stałą kwotę kapitału, którą chcemy zainwestować, to logarytmowanie tych rozkładów będzie miało charakter informacyjny. Dlaczego? To, na czym nam zależy, to kształt rozkładu w przestrzeni względnej. Nie ma dla Ciebie znaczenia, czy akcje rosną z 1 do 10, czy z 10 do 100, prawda? W obu przypadkach mamy do czynienia z 10-krotnym zyskiem względnym. Pojawia się to naturalnie w rozkładzie w skali logarytmicznej, w którym zyski jednostkowe odpowiadają bezpośrednio zyskom składanym. Dla dwóch akcji, których wartość średnia jest różna, ale których zmiana względna jest identycznie rozłożona (mają taki sam rozkład dziennych zmian procentowych), ich rozkłady logarytmiczne będą miały identyczny kształt, tylko przesunięty. I odwrotnie, ich rozkłady liniowe nie będą identyczne w kształcie, z wyższą wartością dystrybucji o wyższej wariancji.
Jeśli miałbyś spojrzeć na te same rozkłady w liniowej lub absolutnej przestrzeni, można by pomyśleć, że wyższa wartość cen akcji odpowiada większym wahaniom. Jednak dla celów inwestycyjnych, gdzie liczą się tylko zyski względne, niekoniecznie jest to prawdą.
Przykład 2. Reakcje chemiczne.Załóżmy, że mamy dwie cząsteczki A i B, które ulegają odwracalnej reakcji.
$Lewa strzałka B$
która jest określona przez poszczególne stałe szybkości
($k_{ab}$) $Aprawej strzałki B$($k_{ba}$) $Prawej strzałki A$
Ich równowaga jest określona przez zależność:
$K=$frac{k_{ab}}{k_{ba}}$
Dwie kwestie tutaj. (1) Jest to zależność multiplikatywna pomiędzy stężeniami $A$ i $B$. (2) Ta relacja nie jest arbitralna, lecz wynika bezpośrednio z podstawowych własności fizyko-chemicznych, które rządzą wpadającymi na siebie i reagującymi cząsteczkami.
Załóżmy teraz, że mamy pewien rozkład stężenia A lub B. Odpowiednia skala tego rozkładu jest w przestrzeni logarytmicznej, ponieważ model tego, jak zmienia się stężenie któregokolwiek z nich jest określony multiplikatywnie (iloczyn stężenia A i odwrotności stężenia B). W jakimś alternatywnym wszechświecie, gdzie $K^*=k_{ab}-k_{ba}=-$, możemy spojrzeć na ten rozkład stężenia w absolutnej, liniowej przestrzeni.
To powiedziawszy, jeśli masz model, czy to dla przewidywania giełdowego, czy kinetyki chemicznej, zawsze możesz konwertować „bezstratnie” między przestrzenią liniową i logiczną, tak długo, jak twój zakres wartości jest $(0,\inf)$. To, czy zdecydujesz się spojrzeć na rozkład liniowy czy logarytmiczny, zależy od tego, co próbujesz uzyskać z danych.
EDIT. Ciekawą analogią, która pomogła mi zbudować intuicję, jest przykład średnich arytmetycznych vs geometrycznych. Średnia arytmetyczna (waniliowa) oblicza średnią liczb zakładając model ukryty, w którym liczą się różnice bezwzględne. Przykład. Średnia arytmetyczna liczb 1 i 100 wynosi 50,5. Załóżmy jednak, że mówimy o stężeniach, gdzie chemiczna zależność między stężeniami jest multiplikatywna. Wtedy średnie stężenie powinno być naprawdę obliczane na skali logarytmicznej. Nazywa się to średnią geometryczną. Średnia geometryczna z 1 i 100 wynosi 10! W kategoriach względnych różnic ma to sens: 10/1 = 10, a 100/10 = 10, czyli względna zmiana między średnią a dwiema wartościami jest taka sama. Dodając stwierdzamy to samo; 50.5-1= 49.5, i 100-50.5 = 49.5.
.