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Espiral, curva plana que, em geral, serpenteia em torno de um ponto enquanto se afasta cada vez mais do ponto. Muitos tipos de espiral são conhecidos, a primeira datada dos dias da Grécia antiga. As curvas são observadas na natureza, e os seres humanos utilizaram-nas em máquinas e em ornamentos, nomeadamente arquitectónicos – por exemplo, o whorl numa capital iónica. As duas espirais mais famosas são descritas abaixo.

Embora o matemático grego Arquimedes não tenha descoberto a espiral que leva seu nome (veja figura), ele a empregou em seu On Spirals (c. 225 bc) para ajustar o círculo e trisseccionar um ângulo. A equação da espiral de Arquimedes é r = aθ, na qual a é uma constante, r é o comprimento do raio a partir do centro, ou início, da espiral, e θ é a posição angular (quantidade de rotação) do raio. Como as ranhuras de um registro fonográfico, a distância entre as sucessivas voltas da espiral é uma constante-2πa, se θ é medida em radianos.

A espiral equiangular, ou logarítmica (ver figura) foi descoberta pelo cientista francês René Descartes em 1638. Em 1692 o matemático suíço Jakob Bernoulli nomeou-a spira mirabilis (“espiral milagrosa”) por suas propriedades matemáticas; ela é esculpida em seu túmulo. A equação geral da espiral logarítmica é r = aeθ cot b, na qual r é o raio de cada curva da espiral, a e b são constantes que dependem da espiral particular, θ é o ângulo de rotação como as espirais curvas, e e é a base do logaritmo natural. Enquanto as voltas sucessivas da espiral de Arquimedes são igualmente espaçadas, a distância entre as voltas sucessivas da espiral logarítmica aumenta numa progressão geométrica (tais como 1, 2, 4, 8,…). Entre outras propriedades interessantes, cada raio do seu centro intercepta cada curva da espiral num ângulo constante (equiangular), representado na equação por b. Também, para b = π/2 o raio se reduz à constante a – em outras palavras, a um círculo de raio a. Esta curva aproximada é observada em teias de aranha e, com maior grau de precisão, no molusco camuflado, nautilus (ver fotografia), e em certas flores.