IlustraçãoEditar
Num penalti de futebol, o rematador deve escolher se quer chutar para o lado direito ou esquerdo da baliza, e simultaneamente o guarda-redes deve decidir qual a forma de o bloquear. Além disso, o batedor tem uma direcção em que é melhor rematar, que é a esquerda se for de pé direito. A matriz do jogo de futebol ilustra esta situação, uma forma simplificada do jogo estudada por Chiappori, Levitt e Groseclose (2002). Ela assume que se o goleiro adivinhar corretamente, o chute é bloqueado, o que é definido para o pagamento base de 0 para ambos os jogadores. Se o guarda-redes adivinhar mal, é mais provável que o pontapé entre se for para a esquerda (payoffs de +2 para o pontapé e -2 para o guarda-redes) do que se for para a direita (o payoff mais baixo de +1 para o pontapé e -1 para o guarda-redes).
| Goalie | |||
| Lean Left | Lean Right | ||
| Kicker | Kicker Left | 0, 0 | +2, -2 |
| Pick Right | +1, -1 | 0, 0 | |
| > Pagamento pelo Jogo de Futebol (Kicker, Goalie) | |||
Este jogo não tem equilíbrio de estratégia pura, porque um jogador ou outro se desviaria de qualquer perfil de estratégia – por exemplo, (Esquerda, Esquerda) não é um equilíbrio porque o Kicker se desviaria para a Direita e aumentaria seu payoff de 0 para 1.
O equilíbrio de estratégia mista do kicker é encontrado a partir do fato de que ele irá desviar da randomização a menos que seus payoffs do Kicker esquerdo e do Kicker direito sejam exatamente iguais. Se o goleiro se inclina para a esquerda com probabilidade g, o pagamento esperado do Kicker Left é g(0) + (1-g)(2), e do Kick Right é g(1) + (1-g)(0). Equivalendo estes rendimentos g= 2/3. Da mesma forma, o goleiro só está disposto a randomizar se o jogador escolher uma estratégia mista de probabilidade k, de tal forma que o payoff de k(0) + (1-k)(-1) seja igual ao payoff de k(-2) + (1-k)(0), portanto k = 1/3. Assim, o equilíbrio de estratégia mista é (Prob(Kick Left) = 1/3, (Prob(Lean Left) = 2/3).
Nota que em equilíbrio, o kicker chuta para o seu melhor lado apenas 1/3 do tempo. Isto porque o guarda-redes está a guardar mais esse lado. Note também que em equilíbrio, o jogador é indiferente de que lado ele chuta, mas para que seja um equilíbrio ele deve escolher exatamente 1/3 de probabilidade.
Chiappori, Levitt, e Groseclose tentar medir o quão importante é para o jogador chutar para o seu lado favorito, adicionar chutes centrais, etc, e ver como os jogadores profissionais realmente se comportam. Eles descobrem que eles fazem aleatoriamente, e que os chutes para o seu lado favorito 45% do tempo e os goleiros se inclinam para esse lado 57% do tempo. Seu artigo é bem conhecido como um exemplo de como as pessoas na vida real usam estratégias mistas apesar de não serem matematicamente sofisticadas.
SignificanceEdit
Em seu famoso artigo, John Forbes Nash provou que há um equilíbrio para cada jogo finito. Pode-se dividir os equilíbrios de Nash em dois tipos. Pura estratégia Equilíbrio de Nash são equilíbrios de Nash onde todos os jogadores estão jogando estratégias puras. Equilíbrio de Nash de estratégia mista são equilíbrios em que pelo menos um jogador está a jogar uma estratégia mista. Enquanto Nash provou que cada jogo finito tem um equilíbrio de Nash, nem todos têm equilíbrio de Nash de estratégia pura. Para um exemplo de um jogo que não tem um equilíbrio de Nash em estratégias puras, veja Equilíbrio de cêntimos. No entanto, muitos jogos têm equilíbrio de Nash em estratégia pura (por exemplo, o jogo Coordination, o dilema do prisioneiro, a caça ao veado). Além disso, os jogos podem ter tanto equilíbrio de estratégia pura como de estratégia mista. Um exemplo fácil é o jogo de coordenação pura, onde para além das estratégias puras (A,A) e (B,B) existe um equilíbrio misto em que ambos os jogadores jogam qualquer uma das estratégias com probabilidade 1/2.
Interpretações de Estratégias MistasEditar
Durante os anos 80, o conceito de estratégias mistas ficou sob fogo pesado por serem “intuitivamente problemáticas”, uma vez que são equilíbrios fracos de Nash, e um jogador é indiferente se deve seguir a sua probabilidade de estratégia de equilíbrio ou se deve desviar para alguma outra probabilidade. o teórico do jogo Ariel Rubinstein descreve formas alternativas de entender o conceito. A primeira, devido a Harsanyi (1973), chama-se purificação, e supõe que a interpretação de estratégias mistas apenas reflecte a nossa falta de conhecimento da informação e do processo de tomada de decisão dos jogadores. Uma segunda interpretação imagina os jogadores que representam uma grande população de agentes. Cada um dos agentes escolhe uma estratégia pura, e o payoff depende da fração de agentes que escolhem cada estratégia. A estratégia mista representa assim a distribuição das estratégias puras escolhidas por cada população. Entretanto, isto não fornece nenhuma justificativa para o caso quando os jogadores são agentes individuais.
Later, Aumann e Brandenburger (1995), reinterpretaram o equilíbrio de Nash como um equilíbrio em crenças, ao invés de ações. Por exemplo, em tesouras de papel de rocha um equilíbrio nas crenças faria com que cada jogador acreditasse que o outro tinha a mesma probabilidade de jogar cada estratégia. Esta interpretação enfraquece o poder descritivo do equilíbrio de Nash, no entanto, uma vez que é possível em tal equilíbrio que cada jogador realmente jogue uma estratégia pura de Rock em cada jogada do jogo, mesmo que ao longo do tempo as probabilidades sejam as da estratégia mista.
Estratégia comportamentalEditar
Enquanto uma estratégia mista atribui uma distribuição de probabilidade sobre estratégias puras, uma estratégia comportamental atribui em cada conjunto de informações uma distribuição de probabilidade sobre o conjunto de ações possíveis. Embora os dois conceitos estejam intimamente relacionados no contexto de jogos de forma normal, eles têm implicações muito diferentes para jogos de forma extensiva. Grosso modo, uma estratégia mista escolhe aleatoriamente um caminho determinístico através da árvore do jogo, enquanto uma estratégia comportamental pode ser vista como um caminho estocástico.
A relação entre estratégias mistas e comportamentais é o tema do teorema de Kuhn, uma perspectiva comportamental sobre hipóteses teóricas tradicionais do jogo. O resultado estabelece que em qualquer jogo finito de forma extensiva com recall perfeito, para qualquer jogador e qualquer estratégia mista, existe uma estratégia comportamental que, contra todos os perfis de estratégias (de outros jogadores), induz a mesma distribuição sobre nós terminais que a estratégia mista faz. O inverso também é verdadeiro.
Um exemplo famoso de porque a recordação perfeita é necessária para a equivalência é dada por Piccione e Rubinstein (1997) com o seu jogo de Driver Ausente.