Log-scale informa sobre alterações relativas (multiplicativo), enquanto que linear-scale informa sobre alterações absolutas (aditivo). Quando você usa cada um deles? Quando você se preocupa com mudanças relativas, use a escala log; quando você se preocupa com mudanças absolutas, use a escala linear. Isto é verdade para distribuições, mas também para qualquer quantidade ou alterações nas quantidades.
Note, eu uso a palavra “cuidado” aqui muito especificamente e intencionalmente. Sem um modelo ou um objetivo, sua pergunta não pode ser respondida; o modelo ou objetivo define qual escala é importante. Se você está tentando modelar algo, e o mecanismo age através de uma mudança relativa, a escala de log é crítica para capturar o comportamento visto em seus dados. Mas se o mecanismo do modelo subjacente é aditivo, você vai querer usar escala linear.
Exemplo. Mercado de ações.
Estoque A no dia 1: $\$$100. No dia 2: $\$$101. Todos os serviços de rastreamento de estoque no mundo relatam esta mudança de duas maneiras! (1) +$\$$1. (2) +1%. A primeira é uma medida de mudança absoluta, aditiva; a segunda uma medida de mudança relativa.
Ilustração de mudança relativa versus absoluta: A mudança relativa é a mesma, a mudança absoluta é diferente
Acção A vai de $\$$1 a $\$$1.10.Acção B vai de $\$$100 a $\$$110.
Acção A ganhou 10%, a acção B ganhou 10% (escala relativa, igual)
….mas a ação A ganhou 10 centavos, enquanto a ação B ganhou $\$$10 (B ganhou mais quantidade absoluta em dólar)
Se convertermos para espaço de log, as mudanças relativas aparecem como mudanças absolutas.
O estoque A vai de $\log_{10}(\$1)$ para $\log_{10}(\$1.10)$ = 0 para .0413
O estoque B vai de $\log_{10}(\$100)$ para $\log_{10}(\$110)$ = 2 para 2.0413
Agora, tomando a diferença absoluta no espaço de log, descobrimos que ambos mudaram por .0413.
ambas estas medidas de mudança são importantes, e qual delas é importante para você, depende apenas do seu modelo de investimento. Existem dois modelos. (1) Investir uma quantia fixa de capital, ou (2) investir num número fixo de acções.
Modelo 1: Investir com uma quantia fixa de capital.
Dizer que ontem a acção A custa $\$1 por acção, e a acção B custa $\$100 por acção. Hoje ambos subiram um dólar para $\$$2 e $\$$101 respectivamente. Sua mudança absoluta é idêntica ($\$$1), mas sua mudança relativa é dramaticamente diferente (100% para A, 1% para B). Dado que você tem uma quantia fixa de capital para investir, digamos $\$100, você só pode pagar 1 ação de B ou 100 ações de A. Se você investiu ontem você teria $\$200 com A, ou $\$101 com B. Então aqui você “se importa” com os ganhos relativos, especificamente porque você tem uma quantia finita de capital.
Modelo 2: número fixo de ações.
Num cenário diferente, suponha que o seu banco só lhe permite comprar em blocos de 100 acções, e decidiu investir em 100 acções de A ou B. No caso anterior, quer compre A ou B os seus ganhos serão os mesmos ($\$$100 – ou seja, $1 por cada acção).
Agora suponha que pensamos num valor de acções como uma variável aleatória que flutua ao longo do tempo, e que queremos criar um modelo que reflicta de uma forma geral como as acções se comportam. E digamos que queremos usar este modelo para maximizar o lucro. Calculamos uma distribuição de probabilidade cujos valores x estão em unidades de “cotação das ações”, e valores y em probabilidades de observar uma determinada cotação das ações. Fazemos isso para a ação A, e ação B. Se você subscrever o primeiro cenário, onde você tem um montante fixo de principal que deseja investir, então tomar o log destas distribuições será informativo. Porquê? O que lhe interessa é a forma da distribuição no espaço relativo. Se uma ação vai de 1 a 10, ou 10 a 100 não importa para você, certo? Ambos os casos são um ganho relativo de 10 vezes. Isto aparece naturalmente numa distribuição em escala logarítmica nessa unidade os ganhos correspondem aos ganhos dobrados directamente. Para dois estoques cujo valor médio é diferente mas cuja mudança relativa é distribuída de forma idêntica (eles têm a mesma distribuição de mudanças percentuais diárias), suas distribuições em log serão idênticas em forma apenas deslocada. Ao contrário, suas distribuições lineares não serão idênticas na forma, com a distribuição de maior valor tendo uma variação maior.
Se você fosse olhar para essas mesmas distribuições em linear, ou espaço absoluto, você pensaria que os preços de ações de maior valor correspondem a maiores flutuações. Para seus propósitos de investimento, no entanto, onde apenas ganhos relativos importam, isto não é necessariamente verdade.
Exemplo 2. Suponha que nós temos duas moléculas A e B que passam por uma reação reversível.
$K=\frac{k_{ab}}{k_{ba}}=\frac{}{}$
Dois pontos aqui. (1) Esta é uma relação multiplicativa entre as concentrações de $A$ e $B$. (2) Esta relação não é arbitrária, mas surge diretamente das propriedades físico-químicas fundamentais que governam as moléculas esbarrando umas nas outras e reagindo.
Agora suponha que tenhamos alguma distribuição da concentração de A ou B. A escala apropriada dessa distribuição está no espaço logarítmico, porque o modelo de como uma ou outra concentração muda é definido multiplicativamente (o produto da concentração de A com o inverso da concentração de B). Em algum universo alternativo onde $K^*=k_{ab}-k_{ba}=-$, podemos olhar para esta distribuição de concentração no espaço absoluto, linear.
Dito isto, se você tiver um modelo, seja para previsão do mercado de ações ou cinética química, você pode sempre interconverter ‘sem perdas’ entre o espaço linear e o espaço log, desde que seu intervalo de valores seja $(0,\inf)$. Se você escolher olhar para a distribuição em escala linear ou logarítmica depende do que você está tentando obter dos dados.
EDIT. Um paralelo interessante que me ajudou a construir a intuição é o exemplo de meios aritméticos versus meios geométricos. Uma média aritmética (baunilha) calcula a média dos números assumindo um modelo oculto onde as diferenças absolutas são o que importa. Exemplo. A média aritmética de 1 e 100 é 50,5. Suponhamos que estamos a falar de concentrações, onde a relação química entre as concentrações é multiplicativa. Então a concentração média deve ser realmente calculada na escala logarítmica. Isto é chamado de média geométrica. A média geométrica de 1 e 100 é 10! Em termos de diferenças relativas, isto faz sentido: 10/1 = 10, e 100/10 = 10, ou seja, a variação relativa entre a média e dois valores é a mesma. Aditivamente encontramos a mesma coisa; 50,5-1= 49,5, e 100-50,5 = 49,5.