IllustrationEdit
In un calcio di rigore, il calciatore deve scegliere se calciare sul lato destro o sinistro della porta, e contemporaneamente il portiere deve decidere da che parte bloccarlo. Inoltre, il calciatore ha una direzione in cui è più bravo a tirare, che è la sinistra se ha il piede destro. La matrice del gioco del calcio illustra questa situazione, una forma semplificata del gioco studiato da Chiappori, Levitt e Groseclose (2002). Essa presuppone che se il portiere indovina correttamente, il calcio viene bloccato, il che è impostato sul payoff base di 0 per entrambi i giocatori. Se il portiere indovina male, il calcio ha più probabilità di entrare se è a sinistra (payoff di +2 per il calciatore e -2 per il portiere) che se è a destra (il payoff più basso di +1 al calciatore e -1 al portiere).
| Portiere | |||
| Sinistra | Destra | ||
| Cacciatore | Calcia a sinistra | 0, 0 | +2, -2 |
| Calcia Destra | +1, -1 | 0, 0 | |
| Payoff per il gioco del calcio (Kicker, Portiere) | |||
Questo gioco non ha un equilibrio di strategia pura, perché un giocatore o l’altro devierebbe da qualsiasi profilo di strategia – per esempio, (Sinistra, Sinistra) non è un equilibrio perché il Calciatore devierebbe a Destra e aumenterebbe il suo payoff da 0 a 1.
L’equilibrio di strategia mista del calciatore si trova dal fatto che egli devierà dalla randomizzazione a meno che i suoi payoff dal calcio sinistro e dal calcio destro siano esattamente uguali. Se il portiere si appoggia a sinistra con probabilità g, il payoff atteso del calciatore dal calcio a sinistra è g(0) + (1-g)(2), e dal calcio a destra è g(1) + (1-g)(0). Facendo l’equazione si ottiene g= 2/3. Allo stesso modo, il portiere è disposto a randomizzare solo se il calciatore sceglie la probabilità di strategia mista k tale che il payoff di Lean Left di k(0) + (1-k)(-1) è uguale al payoff di Lean Right di k(-2) + (1-k)(0), quindi k = 1/3. Così, l’equilibrio di strategia mista è (Prob(Kick Left) = 1/3, (Prob(Lean Left) = 2/3).
Nota che in equilibrio, il calciatore calcia sul suo lato migliore solo 1/3 delle volte. Questo perché il portiere sorveglia maggiormente quel lato. Notate anche che in equilibrio, il calciatore è indifferente da che parte calcia, ma perché sia un equilibrio deve scegliere esattamente 1/3 di probabilità.
Chiappori, Levitt e Groseclose provano a misurare quanto sia importante per il calciatore calciare sul suo lato preferito, aggiungono i calci centrali, ecc, e osservano come si comportano effettivamente i giocatori professionisti. Trovano che si randomizzano, e che i calciatori calciano sul loro lato preferito il 45% delle volte e i portieri si inclinano su quel lato il 57% delle volte. Il loro articolo è noto come un esempio di come le persone nella vita reale usano strategie miste nonostante non siano matematicamente sofisticate.
SignificativitàModifica
Nel suo famoso articolo, John Forbes Nash dimostrò che esiste un equilibrio per ogni gioco finito. Si possono dividere gli equilibri di Nash in due tipi. Gli equilibri di Nash a strategia pura sono equilibri di Nash in cui tutti i giocatori giocano strategie pure. Gli equilibri di Nash a strategia mista sono equilibri in cui almeno un giocatore gioca una strategia mista. Mentre Nash ha dimostrato che ogni gioco finito ha un equilibrio di Nash, non tutti hanno equilibri di Nash a strategia pura. Per un esempio di un gioco che non ha un equilibrio di Nash in strategie pure, vedi Matching pennies. Tuttavia, molti giochi hanno equilibri di Nash a strategia pura (ad esempio, il gioco di coordinazione, il dilemma del prigioniero, la caccia al cervo). Inoltre, i giochi possono avere sia equilibri a strategia pura che a strategia mista. Un facile esempio è il gioco di coordinazione puro, dove oltre alle strategie pure (A,A) e (B,B) esiste un equilibrio misto in cui entrambi i giocatori giocano entrambe le strategie con probabilità 1/2.
Interpretazioni delle strategie misteModifica
Durante gli anni ’80, il concetto di strategie miste è finito sotto il fuoco pesante per essere “intuitivamente problematico”, poiché sono equilibri di Nash deboli, e un giocatore è indifferente se seguire la sua probabilità di strategia di equilibrio o deviare verso qualche altra probabilità. Il teorico del gioco Ariel Rubinstein descrive modi alternativi di comprendere il concetto. Il primo, dovuto a Harsanyi (1973), è chiamato purificazione, e suppone che l’interpretazione delle strategie miste rifletta semplicemente la nostra mancanza di conoscenza delle informazioni e del processo decisionale dei giocatori. Le scelte apparentemente casuali sono quindi viste come conseguenze di fattori esogeni non specificati e irrilevanti per il payoff. Una seconda interpretazione immagina che i giocatori rappresentino una grande popolazione di agenti. Ognuno degli agenti sceglie una strategia pura, e il payoff dipende dalla frazione di agenti che scelgono ogni strategia. La strategia mista rappresenta quindi la distribuzione delle strategie pure scelte da ogni popolazione. Tuttavia, questo non fornisce alcuna giustificazione per il caso in cui i giocatori sono agenti individuali.
In seguito, Aumann e Brandenburger (1995), hanno reinterpretato l’equilibrio di Nash come un equilibrio nelle credenze, piuttosto che nelle azioni. Per esempio, in rock paper scissors un equilibrio in credenze avrebbe ogni giocatore che crede che l’altro abbia la stessa probabilità di giocare ogni strategia. Questa interpretazione indebolisce il potere descrittivo dell’equilibrio di Nash, tuttavia, poiché in un tale equilibrio è possibile che ogni giocatore giochi effettivamente una strategia pura di Rock in ogni partita del gioco, anche se nel tempo le probabilità sono quelle della strategia mista.
Strategia di comportamentoModifica
Mentre una strategia mista assegna una distribuzione di probabilità sulle strategie pure, una strategia di comportamento assegna ad ogni set di informazioni una distribuzione di probabilità sull’insieme delle azioni possibili. Mentre i due concetti sono strettamente correlati nel contesto dei giochi in forma normale, hanno implicazioni molto diverse per i giochi in forma estesa. Approssimativamente, una strategia mista sceglie casualmente un percorso deterministico attraverso l’albero del gioco, mentre una strategia di comportamento può essere vista come un percorso stocastico.
La relazione tra strategie miste e di comportamento è il soggetto del teorema di Kuhn, una prospettiva comportamentale sulle ipotesi tradizionali della teoria dei giochi. Il risultato stabilisce che in qualsiasi gioco in forma estesa finita con richiamo perfetto, per qualsiasi giocatore e qualsiasi strategia mista, esiste una strategia di comportamento che, contro tutti i profili di strategie (di altri giocatori), induce la stessa distribuzione sui nodi terminali della strategia mista. Anche il contrario è vero.
Un famoso esempio del perché il richiamo perfetto sia richiesto per l’equivalenza è dato da Piccione e Rubinstein (1997) con il loro gioco Absent-Minded Driver.