När man tänker på en vektor är det nog många som tänker på Vectors definition (från Despicable Me). Han säger:
Det är en matematisk term. En storhet som representeras av en pil med både riktning och magnitud. Vector! Det är jag – för jag begår brott med både riktning och magnitud! Åh ja!
Okej, men egentligen. Vad är en vektor? Jag gillar följande definition (och det är den definition jag ger eleverna i klassen):
Vektor: en storhet med mer än ett element (mer än en information).
Det är inte den bästa definitionen, men den är bättre än ”magnitud och riktning”. Det bästa sättet att förstå vektorer är kanske att titta på några exempel. Anta att jag befinner mig i ett rum och jag rör mig runt till olika platser för att mäta temperaturen. Temperaturen på en viss plats har bara ett element (som 22° C). Eftersom temperaturen bara har en enda information kallar vi den för en skalär. Andra exempel på skalarer skulle vara: massa, elektrisk laddning, effekt, elektrisk potentialskillnad.
Antag nu att jag går runt till olika punkter i rummet för att bestämma luftflödet. Vid varje plats kan luften röra sig i tre olika riktningar (x,y,z). Så för att verkligen mäta lufthastigheten på varje plats skulle jag behöva tre element. Vi kallar denna lufthastighet för en vektor (en tredimensionell vektor) eftersom den innehåller tre delar av informationen. Andra exempel på vektorer är: krafter, elektriska fält, acceleration, förskjutning.
Kan man ha vektorer med fler eller färre än tre element? Ja. I introduktionskurser i fysik är det vanligt att man bara tittar på vektorer med endast 2 dimensioner (x och y) bara för att göra det enklare. Dessutom kan man ha 4 eller 5 eller till och med fler dimensioner i vektorer. Det enda problemet med vektorer av högre ordning är att det är svårare att visualisera dem i ett tredimensionellt rum.
Nollvektorn
Här är det verkliga problemet med definitionen av en vektor med ”storlek och riktning” – nollvektorn. Anta att du vill representera en förskjutning i två dimensioner. Om du börjar från origo och förflyttar dig 3 meter i x-riktningen och -2 i y-riktningen kan du skriva det som:
Om du vill kan du hitta storleken på denna vektorförflyttning med värdet 3,61 meter. Du skulle också kunna hitta ”riktningen” för denna vektor och säga att den ligger 33,7° under x-axeln. Men vad händer om du vill representera den förskjutning som inte går någonstans? Jag skulle lätt kunna skriva detta som följande vektor:
Kan jag hitta storleken på denna vektor? Ja, det är mycket lätt att se att vektorn har en magnitud på noll meter. Hur är det med riktningen? Tja, om förskjutningen faktiskt inte gick någonstans kan man inte riktigt säga i vilken riktning den var. Det bästa svaret är att säga att riktningen är odefinierad. Så här är ett fall av en förskjutning med noll storlek och en odefinierad riktning. Är det en vektor? Absolut. Är jag bara petig när det gäller definitionen av en vektor? Förmodligen.
Nollvektorn i den faktiska fysiken
Nollvektorn är inte noll. För att vara tydlig kan jag skriva följande två ekvationer:
Dessa är olika storheter. Du kan inte sätta en vektormängd lika med en skalär mängd. Du kan helt enkelt inte göra det. Det händer dock. Denna ekvation fanns i en mycket färsk introduktionstext i fysik. Det är exakt så här ekvationen visades i texten.
Läroboken försökte visa idén om ett objekt i jämvikt. I jämvikt är den totala kraften på objektet nollvektorn. Den här ekvationen säger dock att den totala summan av vektorkrafterna bara är lika med noll (skalaren). Åh, kanske använder de 0 för att representera nollvektorn? Det skulle vara en rimlig förklaring om de inte använde pilar för att representera andra vektorer. Nej, nollvektorn är fortfarande en vektor. Det bästa sättet att visa denna ekvation skulle vara:
I denna version finns det en vektor som är lika med en vektor. Det är bättre.
Låt mig avsluta med två anmärkningar. För det första har jag talat om vektorer tidigare. Ett av mina favoritinlägg är detta svar till Khan Academy om vektorer. I huvudsak är detta den andra delen av en diskussion om att lösa kinematiska problem där jag hävdar att man fortfarande kan använda vektorer även om det är ett endimensionellt problem. För det andra, om du vill ställa in vektorer lika med nollvektorn, se till att du kallar den nollvektorn och inte bara ”noll”.