IllustrationRediger
I et straffespark i fodbold skal sparkeren vælge, om han vil sparke til højre eller venstre side af målet, og samtidig skal målmanden beslutte, hvilken vej han vil blokere det. Desuden har sparkeren en retning, han er bedst til at skyde i, hvilket er til venstre, hvis han er højrebenet. Matrixen for fodboldspillet illustrerer denne situation, som er en forenklet form af det spil, der er undersøgt af Chiappori, Levitt og Groseclose (2002). Det antages, at hvis målmanden gætter rigtigt, bliver sparket blokeret, hvilket er sat til basisudbyttet på 0 for begge spillere. Hvis målmanden gætter forkert, er der større sandsynlighed for, at sparket går ind, hvis det er til venstre (gevinst på +2 for sparkeren og -2 for målmanden), end hvis det er til højre (den lavere gevinst på +1 for sparkeren og -1 for målmanden).
| Målmand | |||
| Lej venstre | Lej højre | ||
| Kicker | Kick venstre | 0, 0 | +2, -2 |
| Spark til højre | +1, -1 | 0, 0 | |
| Udbytte for fodboldspillet (Kicker, Målmand) | |||
Dette spil har ingen ren strategi ligevægt, fordi den ene eller den anden spiller ville afvige fra enhver profil af strategier – for eksempel er (Venstre, venstre) ikke en ligevægt, fordi kicker ville afvige til højre og øge sin gevinst fra 0 til 1.
Kickerens blandede strategi ligevægt findes ud fra det faktum, at han vil afvige fra at randomisere, medmindre hans payoffs fra Left Kick og Right Kick er nøjagtigt lige store. Hvis målmanden læner sig til venstre med sandsynligheden g, er kickerens forventede gevinst ved spark til venstre g(0) + (1-g)(2), og ved spark til højre g(1) + (1-g)(0). Ved at sætte lighedstegn mellem disse resultater fås g= 2/3. På samme måde er målmanden kun villig til at randomisere, hvis sparkeren vælger en blandet strategi med en sådan sandsynlighed k, at Lean Left’s payoff på k(0) + (1-k)(-1) er lig med Lean Right’s payoff på k(-2) + (1-k)(0), så k = 1/3. Den blandede strategiske ligevægt er således (Prob(Kick Left) = 1/3, (Prob(Lean Left) = 2/3).
Bemærk, at sparkeren i ligevægt kun sparker til sin bedste side i 1/3 af tilfældene. Det skyldes, at målmanden bevogter den side mere. Bemærk også, at i ligevægt er sparkeren ligeglad med, hvilken vej han sparker, men for at det skal være en ligevægt, skal han vælge præcis 1/3 sandsynlighed.
Chiappori, Levitt og Groseclose forsøger at måle, hvor vigtigt det er for sparkeren at sparke til sin foretrukne side, tilføjer midterspark osv. og ser på, hvordan professionelle spillere faktisk opfører sig. De finder ud af, at de faktisk randomiserer, og at kickere sparker til deres foretrukne side 45 % af tiden, og at målmænd hælder til denne side 57 % af tiden. Deres artikel er kendt som et eksempel på, hvordan folk i det virkelige liv bruger blandede strategier på trods af, at de ikke er matematisk sofistikerede.
BetydningRediger
I sin berømte artikel beviste John Forbes Nash, at der findes en ligevægt for ethvert endeligt spil. Man kan opdele Nash-ligevægte i to typer. Nash-ligevægte med ren strategi er Nash-ligevægte, hvor alle spillere spiller med rene strategier. Nash-ligevægte med blandet strategi er ligevægte, hvor mindst én spiller spiller med en blandet strategi. Nash beviste, at ethvert endeligt spil har en Nash-ligevægt, men det er ikke alle spil, der har Nash-ligevægte med ren strategi. For et eksempel på et spil, der ikke har en Nash-ligevægt i rene strategier, se Matching pennies. Mange spil har imidlertid Nash-ligevægte i ren strategi (f.eks. koordinationsspillet, fængslets dilemma, hjortejagten). Endvidere kan spil have både ren strategi og blandet strategi ligevægte. Et let eksempel er det rene koordinationsspil, hvor der ud over de rene strategier (A,A) og (B,B) findes en blandet ligevægt, hvor begge spillere spiller en af de to strategier med en sandsynlighed på 1/2.
Fortolkninger af blandede strategierRediger
I løbet af 1980’erne kom begrebet blandede strategier under kraftig beskydning for at være “intuitivt problematisk”, da de er svage Nash-ligevægte, og en spiller er ligeglad med, om han skal følge sin ligevægtsstrategis sandsynlighed eller afvige til en anden sandsynlighed. spilteoretikeren Ariel Rubinstein beskriver alternative måder at forstå begrebet på. Den første, der skyldes Harsanyi (1973), kaldes rensning og antager, at fortolkningen af blandede strategier blot afspejler vores manglende viden om spillernes information og beslutningsproces. Tilsyneladende tilfældige valg ses da som konsekvenser af ikke-specificerede, udbetalingsirrelevante eksogene faktorer. en anden fortolkning forestiller sig, at spillets spillere står for en stor population af agenter. Hver af agenterne vælger en ren strategi, og gevinsten afhænger af den andel af agenterne, der vælger hver strategi. Den blandede strategi repræsenterer således fordelingen af de rene strategier, der vælges af hver population. Dette giver imidlertid ikke nogen begrundelse for det tilfælde, hvor spillerne er individuelle agenter.
Senere omfortolkede Aumann og Brandenburger (1995) Nash-ligevægt som en ligevægt med hensyn til overbevisninger snarere end handlinger. I f.eks. rock paper scissors ville en ligevægt i overbevisninger indebære, at hver spiller tror, at det er lige sandsynligt, at den anden spiller vil spille hver strategi. Denne fortolkning svækker imidlertid Nash-ligevægtens beskrivende kraft, da det i en sådan ligevægt er muligt, at hver spiller faktisk spiller en ren strategi for Rock i hvert spil, selv om sandsynlighederne over tid er dem for den blandede strategi.
AdfærdsstrategiRediger
Mens en blandet strategi tildeler en sandsynlighedsfordeling over rene strategier, tildeler en adfærdsstrategi ved hvert informationssæt en sandsynlighedsfordeling over mængden af mulige handlinger. Mens de to begreber er meget nært beslægtede i forbindelse med normalformsspil, har de meget forskellige implikationer for spil i ekstensiv form. Groft sagt vælger en blandet strategi tilfældigt en deterministisk vej gennem spiltræet, mens en adfærdsstrategi kan ses som en stokastisk vej.
Forholdet mellem blandede og adfærdsstrategier er genstand for Kuhns sætning, et adfærdsmæssigt perspektiv på traditionelle spilteoretiske hypoteser. Resultatet fastslår, at der i ethvert endeligt ekstensivt spil med perfekt tilbagekaldelse for enhver spiller og enhver blandet strategi findes en adfærdsstrategi, der i forhold til alle strategiprofiler (for andre spillere) inducerer den samme fordeling over terminale knudepunkter som den blandede strategi gør. Det omvendte er også sandt.
Et berømt eksempel på, hvorfor perfekt genkaldelse er nødvendig for ækvivalensen, er givet af Piccione og Rubinstein (1997) med deres Absent-Minded Driver-spil.