Wenn man an einen Vektor denkt, fällt vielen Leuten wahrscheinlich die Definition von Vector (aus Despicable Me) ein. Er sagt:
Es ist ein mathematischer Begriff. Eine Größe, die durch einen Pfeil dargestellt wird und sowohl Richtung als auch Größe hat. Vektor! Das bin ich – denn ich begehe Verbrechen mit Richtung und Größe! Oh ja!
Ok, aber wirklich. Was ist ein Vektor? Mir gefällt die folgende Definition (und das ist die Definition, die ich den Schülern im Unterricht gebe).
Vektor: eine Größe mit mehr als einem Element (mehr als eine Information).
Das ist nicht die beste Definition, aber besser als „Größe und Richtung“. Vielleicht kann man Vektoren am besten verstehen, wenn man sich einige Beispiele ansieht. Nehmen wir an, ich befinde mich in einem Raum und bewege mich zu verschiedenen Orten, um die Temperatur zu messen. Die Temperatur an einem bestimmten Ort besteht nur aus einem Element (z. B. 22° C). Da die Temperatur nur eine einzige Information enthält, nennen wir sie einen Skalar. Andere Beispiele für Skalare wären: Masse, elektrische Ladung, Leistung, elektrische Potentialdifferenz.
Angenommen, ich gehe zu verschiedenen Punkten im Raum, um den Luftstrom zu bestimmen. An jeder Stelle kann sich die Luft in drei verschiedene Richtungen (x, y, z) bewegen. Um also die Luftgeschwindigkeit an jedem Ort wirklich zu messen, bräuchte ich 3 Elemente. Wir nennen diese Luftgeschwindigkeit einen Vektor (einen 3-dimensionalen Vektor), weil sie drei Informationen enthält. Andere Beispiele für Vektoren wären: Kräfte, elektrische Felder, Beschleunigung, Verschiebung.
Kann man Vektoren mit mehr oder weniger als 3 Elementen haben? Ja. In einführenden Physikkursen ist es üblich, nur Vektoren mit nur 2 Dimensionen (x und y) zu betrachten, um die Dinge zu vereinfachen. Vektoren können aber auch 4, 5 oder noch mehr Dimensionen haben. Das einzige Problem mit Vektoren höherer Ordnung ist, dass es schwieriger ist, sie im dreidimensionalen Raum zu visualisieren.
Der Nullvektor
Hier ist das eigentliche Problem mit der „Betrag und Richtung“-Definition eines Vektors – der Nullvektor. Angenommen, man will eine Verschiebung in 2 Dimensionen darstellen. Wenn man vom Ursprung ausgeht und sich 3 Meter in x-Richtung und -2 in y-Richtung bewegt, könnte man das so schreiben:
Wenn man wollte, könnte man den Betrag dieser Vektorverschiebung mit einem Wert von 3,61 Metern finden. Man könnte auch die „Richtung“ dieses Vektors bestimmen und sagen, dass er 33,7° unter der x-Achse liegt. Was aber, wenn man die Verschiebung darstellen möchte, die nirgendwo hinführt? Ich könnte dies einfach als den folgenden Vektor schreiben:
Kann ich den Betrag dieses Vektors finden? Ja, es ist sehr einfach zu sehen, dass der Vektor einen Betrag von null Metern hat. Was ist mit der Richtung? Nun, wenn die Verschiebung nirgendwo hingegangen ist, kann man nicht wirklich sagen, in welche Richtung sie ging. Die beste Antwort ist, dass die Richtung unbestimmt ist. Hier haben wir also einen Fall von einer Verschiebung mit dem Betrag Null und einer unbestimmten Richtung. Ist es ein Vektor? Auf jeden Fall. Bin ich nur pingelig, was die Definition eines Vektors angeht? Wahrscheinlich.
Der Nullvektor in der realen Physik
Der Nullvektor ist nicht Null. Nur um das klarzustellen, kann ich die folgenden zwei Gleichungen schreiben:
Das sind unterschiedliche Größen. Man kann eine vektorielle Größe nicht mit einer skalaren Größe gleichsetzen. Man kann es einfach nicht tun. Trotzdem passiert es. Diese Gleichung stand in einem kürzlich erschienenen einführenden Physiklehrbuch. Genau so wurde die Gleichung in dem Text dargestellt.
Das Lehrbuch versuchte, die Idee eines Objekts im Gleichgewicht zu zeigen. Im Gleichgewicht ist die gesamte Kraft, die auf das Objekt wirkt, der Nullvektor. Diese Gleichung besagt jedoch, dass die Gesamtsumme der Vektorkräfte gleich Null ist (der Skalar). Oh, vielleicht verwenden sie 0, um den Nullvektor darzustellen? Das wäre eine plausible Erklärung, wenn sie keine Pfeile zur Darstellung anderer Vektoren verwenden würden. Nein, der Nullvektor ist immer noch ein Vektor. Die beste Art, diese Gleichung darzustellen, wäre:
In dieser Version gibt es einen Vektor, der gleich einem Vektor ist. Das ist besser.
Lassen Sie mich mit zwei Anmerkungen schließen. Erstens: Ich habe schon früher über Vektoren gesprochen. Einer meiner Lieblingsbeiträge ist diese Antwort an Khan Academy über Vektoren. Im Wesentlichen ist dies der zweite Teil einer Diskussion über das Lösen von Kinematikproblemen, in der ich argumentiere, dass man Vektoren auch dann verwenden kann, wenn es sich um ein eindimensionales Problem handelt. Zweitens, wenn man Vektoren gleich dem Nullvektor setzen will, muss man sicherstellen, dass man ihn Nullvektor nennt und nicht einfach „Null“.