Free Press

Spiraal, vlakke kromme die, in het algemeen, rond een punt kronkelt en zich steeds verder van het punt verwijdert. Er zijn vele soorten spiraal bekend, de eerste dateren uit de tijd van het oude Griekenland. De krommen zijn waargenomen in de natuur, en de mens heeft ze gebruikt in machines en in ornamenten, met name in de architectuur – bijvoorbeeld de krul in een Ionisch kapiteel. De twee beroemdste spiralen worden hieronder beschreven.

Hoewel de Griekse wiskundige Archimedes de spiraal die zijn naam draagt niet ontdekte (zie figuur), gebruikte hij deze wel in zijn On Spirals (ca. 225 v. Chr.) om de cirkel te kwadrateren en een hoek in drieën te delen. De vergelijking van de spiraal van Archimedes is r = aθ, waarin a een constante is, r de lengte van de straal vanaf het middelpunt, of begin, van de spiraal, en θ de hoekstand (mate van draaiing) van de straal. Net als de groeven in een grammofoonplaat is de afstand tussen opeenvolgende draaiingen van de spiraal een constante-2πa, als θ in radialen wordt gemeten.

De gelijkbenige, of logaritmische, spiraal (zie figuur) werd in 1638 door de Franse wetenschapper René Descartes ontdekt. In 1692 gaf de Zwitserse wiskundige Jakob Bernoulli de spira mirabilis (“mirakelspiraal”) de naam voor zijn wiskundige eigenschappen; hij is op zijn graf gegraveerd. De algemene vergelijking van de logaritmische spiraal is r = aeθ cot b, waarin r de straal is van elke draai van de spiraal, a en b constanten zijn die afhangen van de specifieke spiraal, θ de draaihoek is terwijl de kromme spiraalt, en e de basis is van de natuurlijke logaritme. Terwijl de opeenvolgende wendingen van de Archimedes-spiraal op gelijke afstand van elkaar liggen, neemt de afstand tussen opeenvolgende wendingen van de logaritmische spiraal toe in een geometrische progressie (zoals 1, 2, 4, 8,…). Een van de andere interessante eigenschappen is dat elke straal vanuit het middelpunt elke draai van de spiraal snijdt onder een constante hoek (gelijkhoekig), in de vergelijking weergegeven door b. Ook wordt voor b = π/2 de straal gereduceerd tot de constante a – met andere woorden, tot een cirkel met straal a. Deze benaderende kromme wordt waargenomen in spinnenwebben en, met een grotere nauwkeurigheid, in het kamvormige weekdier, de nautilus (zie foto), en in bepaalde bloemen.