IllustrationEdit
Într-o lovitură de pedeapsă la fotbal, executantul trebuie să aleagă dacă să șuteze în partea dreaptă sau în partea stângă a porții și, simultan, portarul trebuie să decidă în ce direcție să o blocheze. De asemenea, executantul are o direcție în care șutează cel mai bine, care este stânga dacă are piciorul drept. Matricea pentru jocul de fotbal ilustrează această situație, o formă simplificată a jocului studiat de Chiappori, Levitt și Groseclose (2002). Aceasta presupune că, dacă portarul ghicește corect, șutul este blocat, ceea ce se stabilește la câștigul de bază de 0 pentru ambii jucători. În cazul în care portarul ghicește greșit, șutul are mai multe șanse să intre dacă este la stânga (câștiguri de +2 pentru cel care lovește și -2 pentru portar) decât dacă este la dreapta (câștig mai mic de +1 pentru cel care lovește și -1 pentru portar).
| Portarul | |||
| Lean Stâng | Lean Drept | ||
| Kicker | Kicker Stâng | 0, 0 | +2, -2 |
| Kick Right | +1, -1 | 0, 0 | |
| Răsplata pentru jocul de fotbal (Kicker, portar) | |||
Acest joc nu are un echilibru de strategie pură, deoarece unul sau altul dintre jucători ar devia de la orice profil de strategii – de exemplu, (Stânga, Stânga) nu este un echilibru deoarece fotbalistul ar devia spre dreapta și și-ar crește câștigul de la 0 la 1.
Echilibrul de strategie mixtă al lui Kicker se găsește din faptul că el va devia de la randomizare, cu excepția cazului în care plățile sale de la Lovitură stânga și Lovitură dreapta sunt exact egale. Dacă portarul se înclină spre stânga cu probabilitatea g, câștigul așteptat al kickerului de la lovitura de stânga este g(0) + (1-g)(2), iar de la lovitura de dreapta este g(1) + (1-g)(0). Echivalând aceste valori rezultă g= 2/3. În mod similar, portarul este dispus să aleagă la întâmplare doar dacă cel care lovește alege o probabilitate de strategie mixtă k astfel încât câștigul din Lean Left de k(0) + (1-k)(-1) să fie egal cu câștigul din Lean Right de k(-2) + (1-k)(0), deci k = 1/3. Astfel, echilibrul de strategie mixtă este (Prob(Kick Left) = 1/3, (Prob(Lean Left) = 2/3).
Rețineți că, în echilibru, cel care lovește cu piciorul în partea sa cea mai bună doar 1/3 din timp. Acest lucru se datorează faptului că portarul păzește mai mult acea parte. De asemenea, rețineți că, în echilibru, kickerul este indiferent în ce parte șutează, dar pentru ca acesta să fie un echilibru, el trebuie să aleagă exact 1/3 din probabilitate.
Chiappori, Levitt și Groseclose încearcă să măsoare cât de important este pentru kicker să șuteze în partea sa favorită, adaugă șuturile din centru etc. și analizează modul în care se comportă de fapt jucătorii profesioniști. Aceștia descoperă că aceștia randomizează și că șutează spre partea lor favorită în 45% din timp, iar portarii se înclină spre acea parte în 57% din timp. Articolul lor este bine cunoscut ca un exemplu al modului în care oamenii din viața reală folosesc strategii mixte, în ciuda faptului că nu sunt sofisticați din punct de vedere matematic.
SemnificațieEdit
În celebra sa lucrare, John Forbes Nash a demonstrat că există un echilibru pentru fiecare joc finit. Se pot împărți echilibrele Nash în două tipuri. Echilibrele Nash de strategie pură sunt echilibre Nash în care toți jucătorii joacă strategii pure. Echilibrele Nash cu strategie mixtă sunt echilibre în care cel puțin un jucător joacă o strategie mixtă. Deși Nash a demonstrat că fiecare joc finit are un echilibru Nash, nu toate jocurile au echilibre Nash cu strategie pură. Pentru un exemplu de joc care nu are un echilibru Nash în strategii pure, a se vedea Potrivirea bănuților. Cu toate acestea, multe jocuri au echilibre Nash în strategii pure (de exemplu, jocul de coordonare, dilema prizonierului, vânătoarea de cerbi). Mai mult, jocurile pot avea atât echilibre de strategie pură, cât și de strategie mixtă. Un exemplu simplu este jocul de coordonare pură, în care, pe lângă strategiile pure (A,A) și (B,B), există un echilibru mixt în care ambii jucători joacă oricare dintre strategii cu probabilitatea 1/2.
Interpretări ale strategiilor mixteEdit
În timpul anilor 1980, conceptul de strategii mixte a fost puternic criticat pentru că este „intuitiv problematic”, deoarece acestea sunt echilibre Nash slabe, iar un jucător este indiferent dacă să urmeze probabilitatea strategiei sale de echilibru sau să devieze la o altă probabilitate. teoreticianul de jocuri Ariel Rubinstein descrie modalități alternative de înțelegere a conceptului. Prima, datorată lui Harsanyi (1973), se numește purificare și presupune că interpretarea strategiilor mixte reflectă pur și simplu lipsa noastră de cunoaștere a informațiilor și a procesului decizional al jucătorilor. Alegerile aparent aleatorii sunt atunci văzute ca fiind consecințe ale unor factori exogeni nespecificați, irelevanți pentru câștiguri. o a doua interpretare își imaginează că jucătorii din joc reprezintă o populație mare de agenți. Fiecare dintre agenți alege o strategie pură, iar câștigul depinde de fracțiunea de agenți care aleg fiecare strategie. Prin urmare, strategia mixtă reprezintă distribuția strategiilor pure alese de fiecare populație. Cu toate acestea, acest lucru nu oferă nicio justificare pentru cazul în care jucătorii sunt agenți individuali.
Mai târziu, Aumann și Brandenburger (1995), au reinterpretat echilibrul Nash ca fiind un echilibru în credințe, mai degrabă decât în acțiuni. De exemplu, în rock paper scissors, un echilibru în convingeri ar avea ca fiecare jucător să creadă că celălalt este la fel de probabil să joace fiecare strategie. Cu toate acestea, această interpretare slăbește puterea descriptivă a echilibrului Nash, deoarece într-un astfel de echilibru este posibil ca fiecare jucător să joace de fapt o strategie pură a lui Piatra în fiecare partidă a jocului, chiar dacă în timp probabilitățile sunt cele ale strategiei mixte.
Strategie comportamentalăEdit
În timp ce o strategie mixtă atribuie o distribuție de probabilitate asupra strategiilor pure, o strategie comportamentală atribuie la fiecare set de informații o distribuție de probabilitate asupra setului de acțiuni posibile. Deși cele două concepte sunt foarte strâns legate în contextul jocurilor de formă normală, ele au implicații foarte diferite pentru jocurile de formă extinsă. În linii mari, o strategie mixtă alege la întâmplare o cale deterministă prin arborele jocului, în timp ce o strategie de comportament poate fi văzută ca o cale stocastică.
Relația dintre strategiile mixte și cele de comportament este subiectul teoremei lui Kuhn, o perspectivă comportamentală asupra ipotezelor tradiționale din teoria jocurilor. Rezultatul stabilește că în orice joc finit de formă extensivă cu memorie perfectă, pentru orice jucător și orice strategie mixtă, există o strategie de comportament care, față de toate profilurile de strategii (ale altor jucători), induce aceeași distribuție asupra nodurilor terminale ca și strategia mixtă. Inversul este, de asemenea, adevărat.
Un exemplu celebru al motivului pentru care este necesară o memorie perfectă pentru echivalență este dat de Piccione și Rubinstein (1997) cu jocul lor Absent-Minded Driver.
.