Log-skala informerar om relativa förändringar (multiplikativ), medan linjär-skala informerar om absoluta förändringar (additiv). När använder du var och en av dem? När du bryr dig om relativa förändringar använder du log-skala, när du bryr dig om absoluta förändringar använder du linjär-skala. Detta gäller för fördelningar, men också för alla kvantiteter eller förändringar i kvantiteter.
Notera att jag använder ordet ”omsorg” här mycket specifikt och avsiktligt. Utan en modell eller ett mål kan din fråga inte besvaras; modellen eller målet definierar vilken skala som är viktig. Om du försöker modellera något, och mekanismen verkar via en relativ förändring, är logskala avgörande för att fånga det beteende som ses i dina data. Men om den underliggande modellens mekanism är additiv vill du använda linjär skala.
Exempel. Aktiemarknaden.
Aktie A på dag 1: $\$$$$100. Dag 2: $\$$101. Varje aktieuppföljningstjänst i världen rapporterar denna förändring på två sätt! (1) +$\$$1. (2) +1%. Det första är ett mått på absolut, additiv förändring, det andra ett mått på relativ förändring.
Illustration av relativ förändring kontra absolut: Relativ förändring är densamma, absolut förändring är annorlunda
Aktie A går från 1 dollar till 1,10 dollar.Aktie B går från 100 dollar till 110 dollar.
Aktie A ökade med 10 %, aktie B ökade med 10 % (relativ skala, lika stor)
…men aktie A ökade med 10 cent, medan aktie B ökade med $\$$$10 (B ökade mer i absoluta dollarbelopp)
Om vi konverterar till logaritmisk skala visas relativa förändringar som absoluta förändringar.
Aktie A går från $\log_{10}(\$1)$ till $\log_{10}(\$1,10)$ = 0 till .0413
Aktie B går från $\log_{10}(\$100)$ till $\log_{10}(\$110)$ = 2 till 2.0413
När vi nu tar den absoluta skillnaden i logutrymmet finner vi att båda förändrades med 0,0413.
Båda dessa förändringsmått är viktiga, och vilket mått som är viktigt för dig beror enbart på din investeringsmodell. Det finns två modeller. (1) Investering med ett fast kapitalbelopp eller (2) investering i ett fast antal aktier.
Modell 1: Investering med ett fast kapitalbelopp.
Säg att aktie A i går kostade 1 dollar per aktie och aktie B kostar 100 dollar per aktie. I dag steg de båda med en dollar till $\$$2 respektive $\$101. Deras absoluta förändring är identisk (1 dollar), men deras relativa förändring är dramatiskt annorlunda (100 % för A, 1 % för B). Med tanke på att du har ett fast belopp att investera, låt oss säga 100 dollar, har du bara råd med en aktie i B eller 100 aktier i A. Om du investerade i går skulle du ha 200 dollar i A eller 101 dollar i B. Här ”bryr” du dig alltså om de relativa vinsterna, just för att du har ett begränsat belopp att investera.
Modell 2: fast antal aktier.
I ett annat scenario antar vi att din bank bara låter dig köpa i block om 100 aktier, och du har bestämt dig för att investera i 100 aktier i A eller B. I det tidigare fallet kommer dina vinster att vara desamma ($\$$$100 – dvs. 1 dollar för varje aktie) oavsett om du köper A eller B.
Antag att vi nu tänker oss att ett aktievärde är en slumpmässig variabel som fluktuerar över tiden, och att vi vill komma på en modell som generellt sett återspeglar hur aktier beter sig. Och låt oss säga att vi vill använda denna modell för att maximera vinsten. Vi beräknar en sannolikhetsfördelning vars x-värden är i enheter av ”aktiekurs” och y-värden i sannolikheten att observera en viss aktiekurs. Vi gör detta för aktie A och aktie B. Om du ansluter dig till det första scenariot, där du har ett fast kapitalbelopp som du vill investera, kommer det att vara informativt att ta loggen av dessa fördelningar. Varför? Det du bryr dig om är fördelningens form i det relativa rummet. Om en aktie går från 1 till 10 eller från 10 till 100 spelar ingen roll för dig, eller hur? Båda fallen är en 10-faldig relativ vinst. Detta framträder naturligt i en fördelning på logaritmisk skala genom att enhetsvinsterna direkt motsvarar viktökningarna. För två aktier vars medelvärde är olika men vars relativa förändring är identiskt fördelad (de har samma fördelning av dagliga procentuella förändringar), kommer deras logfördelningar att vara identiska i form, bara förskjutna. Omvänt kommer deras linjära fördelningar inte att vara identiska till formen, och den högre värderade fördelningen kommer att ha en högre varians.
Om man skulle titta på samma fördelningar i det linjära, eller absoluta utrymmet, skulle man tro att högre värderade aktiekurser motsvarar större fluktuationer. För dina investeringsändamål, där endast relativa vinster spelar roll, är detta dock inte nödvändigtvis sant.
Exempel 2. Kemiska reaktioner Anta att vi har två molekyler A och B som genomgår en reversibel reaktion.
$A\Leftrightarrow B$
som definieras av de individuella hastighetskonstanterna
($k_{ab}$) $A\Rightarrow B$($k_{ba}$) $B\Rightarrow A$
Deras jämvikt definieras av förhållandet:
$K=\frac{k_{ab}}{k_{ba}}=\frac{}{}$
Två punkter här. (1) Detta är ett multiplikativt förhållande mellan koncentrationerna av $A$ och $B$. (2) Detta förhållande är inte godtyckligt, utan uppstår direkt ur de grundläggande fysikalisk-kemiska egenskaper som styr molekyler som stöter på varandra och reagerar.
Antag nu att vi har en viss fördelning av A:s eller B:s koncentration. Den lämpliga skalan för denna fördelning är i log-rymd, eftersom modellen för hur den ena eller andra koncentrationen förändras definieras multiplikativt (produkten av A:s koncentration med den omvända av B:s koncentration). I ett alternativt universum där $K^*=k_{ab}-k_{ba}=-$ kan vi titta på denna koncentrationsfördelning i absolut, linjärt utrymme.
Detta sagt, om du har en modell, vare sig det gäller förutsägelser för aktiemarknaden eller kemisk kinetik, kan du alltid växla mellan linjärt och logaritmiskt utrymme utan att förlora något, så länge som ditt värdeintervall är $(0,\inf)$. Om du väljer att titta på den linjära eller logaritmiska fördelningen beror på vad du försöker få fram ur data.
EDIT. En intressant parallell som hjälpte mig att bygga upp intuitionen är exemplet med aritmetiska medelvärden kontra geometriska medelvärden. Ett aritmetiskt medelvärde (vaniljmedelvärde) beräknar genomsnittet av siffror som utgår från en dold modell där absoluta skillnader är det som spelar roll. Exempel. Det aritmetiska medelvärdet av 1 och 100 är 50,5. Anta att vi talar om koncentrationer, där det kemiska förhållandet mellan koncentrationer är multiplikativt. Då bör den genomsnittliga koncentrationen egentligen beräknas på logaritmisk skala. Detta kallas geometriskt medelvärde. Det geometriska medelvärdet av 1 och 100 är 10! När det gäller relativa skillnader är detta logiskt: 10/1 = 10, och 100/10 = 10, dvs. den relativa förändringen mellan medelvärdet och två värden är densamma. Additivt finner vi samma sak; 50,5-1= 49,5, och 100-50,5 = 49,5.