Die logarithmische Skala informiert über relative Veränderungen (multiplikativ), während die lineare Skala über absolute Veränderungen (additiv) informiert. Wann verwenden Sie beide? Wenn Sie sich für relative Veränderungen interessieren, verwenden Sie die logarithmische Skala; wenn Sie sich für absolute Veränderungen interessieren, verwenden Sie die lineare Skala. Dies gilt für Verteilungen, aber auch für jede beliebige Menge oder Veränderung von Mengen.
Bitte beachten Sie, dass ich das Wort „Sorgfalt“ hier ganz ausdrücklich und absichtlich verwende. Ohne ein Modell oder ein Ziel kann Ihre Frage nicht beantwortet werden; das Modell oder das Ziel bestimmt, welcher Maßstab wichtig ist. Wenn Sie versuchen, etwas zu modellieren, und der Mechanismus über eine relative Veränderung wirkt, ist die logarithmische Skala entscheidend, um das in Ihren Daten beobachtete Verhalten zu erfassen. Wenn der Mechanismus des zugrunde liegenden Modells jedoch additiv ist, sollten Sie eine lineare Skala verwenden.
Beispiel. Aktienmarkt.
Aktie A am Tag 1: $\$$100. Am 2. Tag: $\$$101. Jeder Aktienverfolgungsdienst der Welt meldet diese Veränderung auf zwei Arten! (1) +$\$$1. (2) +1%. Das erste ist ein Maß für die absolute, additive Veränderung, das zweite ein Maß für die relative Veränderung.
Veranschaulichung der relativen Veränderung gegenüber der absoluten: Relative Veränderung ist gleich, absolute Veränderung ist anders
Aktie A steigt von $\$$1 auf $\$$1,10.Aktie B steigt von $\$$100 auf $\$$110.
Aktie A hat 10% gewonnen, Aktie B hat 10% gewonnen (relativer Maßstab, gleich)
….aber Aktie A hat 10 Cent gewonnen, während Aktie B $\$$10 gewonnen hat (B hat mehr absoluten Dollarbetrag gewonnen)
Wenn wir in den logarithmischen Raum konvertieren, erscheinen relative Veränderungen als absolute Veränderungen.
Aktie A steigt von $\log_{10}(\$1)$ auf $\log_{10}(\$1,10)$ = 0 auf .0413
Aktie B steigt von $\log_{10}(\$100)$ auf $\log_{10}(\$110)$ = 2 auf 2.0413
Nimmt man nun den absoluten Unterschied im logarithmischen Raum, so stellt man fest, dass sich beide um 0,0413 verändert haben.
Beide dieser Veränderungsmaße sind wichtig, und welches davon für Sie wichtig ist, hängt allein von Ihrem Investitionsmodell ab. Es gibt zwei Modelle. (1) Anlage eines festen Kapitalbetrags oder (2) Anlage in eine feste Anzahl von Aktien.
Modell 1: Anlage mit einem festen Kapitalbetrag.
Angenommen, gestern kostete Aktie A $\$$1 pro Aktie und Aktie B $\$$100 pro Aktie. Heute sind sie beide um einen Dollar auf $\$$2 bzw. $\$$101 gestiegen. Ihre absolute Veränderung ist identisch ($\$$1), aber ihre relative Veränderung ist dramatisch unterschiedlich (100% für A, 1% für B). Da Sie einen festen Kapitalbetrag investieren können, sagen wir $\$$100, können Sie sich nur 1 Aktie von B oder 100 Aktien von A leisten. Wenn Sie gestern investiert hätten, hätten Sie $\$$200 mit A oder $\$$101 mit B. Hier „kümmern“ Sie sich also um die relativen Gewinne, gerade weil Sie einen endlichen Kapitalbetrag haben.
Modell 2: feste Anzahl von Aktien.
Angenommen, Ihre Bank lässt Sie nur in Blöcken von 100 Aktien kaufen, und Sie haben beschlossen, in 100 Aktien von A oder B zu investieren. Im vorigen Fall ist Ihr Gewinn gleich, ob Sie A oder B kaufen ($100 – d.h. $1 für jede Aktie).
Angenommen, wir betrachten den Wert einer Aktie als eine Zufallsvariable, die im Laufe der Zeit schwankt, und wir wollen ein Modell entwickeln, das das allgemeine Verhalten von Aktien widerspiegelt. Und nehmen wir an, wir wollen dieses Modell zur Gewinnmaximierung nutzen. Wir berechnen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren x-Werte in der Einheit „Aktienkurs“ und die y-Werte in der Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Aktienkurs zu beobachten, angegeben sind. Wir tun dies für die Aktie A und die Aktie B. Wenn Sie sich auf das erste Szenario einlassen, bei dem Sie einen festen Kapitalbetrag investieren wollen, dann ist es informativ, den Logarithmus dieser Verteilungen zu nehmen. Und warum? Was Sie interessiert, ist die Form der Verteilung im relativen Raum. Ob eine Aktie von 1 auf 10 oder von 10 auf 100 steigt, spielt für Sie keine Rolle, richtig? In beiden Fällen handelt es sich um einen 10-fachen relativen Anstieg. Dies zeigt sich natürlich in einer logarithmischen Verteilung, bei der die Einheitsgewinne direkt den Fold-Gewinnen entsprechen. Bei zwei Aktien, deren Mittelwert unterschiedlich ist, deren relative Veränderung aber identisch verteilt ist (sie haben die gleiche Verteilung der täglichen prozentualen Veränderungen), sind ihre logarithmischen Verteilungen identisch, nur verschoben. Umgekehrt sind ihre linearen Verteilungen nicht identisch in ihrer Form, wobei die höher bewertete Verteilung eine höhere Varianz aufweist.
Wenn Sie dieselben Verteilungen im linearen oder absoluten Raum betrachten würden, würden Sie denken, dass höher bewertete Aktienkurse größeren Schwankungen entsprechen. Für Ihre Anlagezwecke, bei denen nur die relativen Gewinne zählen, ist dies jedoch nicht unbedingt zutreffend.
Beispiel 2. Chemische Reaktionen.Angenommen, wir haben zwei Moleküle A und B, die eine reversible Reaktion eingehen.
$A\LinksPfeil B$
die durch die einzelnen Geschwindigkeitskonstanten
($k_{ab}$) $A\RechtsPfeil B$($k_{ba}$) $B\RechtsPfeil A$
ihr Gleichgewicht ist durch die Beziehung definiert:
$K=\frac{k_{ab}}{k_{ba}}=\frac{}{}$
Zwei Punkte hier. (1) Dies ist eine multiplikative Beziehung zwischen den Konzentrationen von $A$ und $B$. (2) Diese Beziehung ist nicht willkürlich, sondern ergibt sich direkt aus den grundlegenden physikalisch-chemischen Eigenschaften, die für das Zusammentreffen und die Reaktion von Molekülen verantwortlich sind.
Nehmen wir nun an, wir hätten eine Verteilung der Konzentration von A oder B. Die geeignete Skala dieser Verteilung liegt im logarithmischen Raum, weil das Modell, wie sich eine der beiden Konzentrationen ändert, multiplikativ definiert ist (das Produkt der Konzentration von A mit dem Kehrwert der Konzentration von B). In einem alternativen Universum, in dem $K^*=k_{ab}-k_{ba}=-$ ist, könnten wir diese Konzentrationsverteilung im absoluten, linearen Raum betrachten.
Das heißt, wenn man ein Modell hat, sei es für die Börsenvorhersage oder die chemische Kinetik, kann man immer „verlustfrei“ zwischen dem linearen und dem logarithmischen Raum wechseln, solange der Wertebereich $(0,\inf)$ ist. Ob man sich für die lineare oder die logarithmische Verteilung entscheidet, hängt davon ab, was man aus den Daten herausfinden will.
EDIT. Eine interessante Parallele, die mir geholfen hat, Intuition zu entwickeln, ist das Beispiel des arithmetischen Mittels gegenüber dem geometrischen Mittel. Ein arithmetisches (Vanille-)Mittel berechnet den Durchschnitt von Zahlen unter der Annahme eines verborgenen Modells, bei dem es auf die absoluten Unterschiede ankommt. Beispiel. Das arithmetische Mittel von 1 und 100 ist 50,5. Nehmen wir jedoch an, dass es sich um Konzentrationen handelt, bei denen die chemische Beziehung zwischen den Konzentrationen multiplikativ ist. Dann sollte die Durchschnittskonzentration wirklich auf der logarithmischen Skala berechnet werden. Dies wird als geometrisches Mittel bezeichnet. Das geometrische Mittel von 1 und 100 ist 10! In Bezug auf die relativen Unterschiede macht dies Sinn: 10/1 = 10 und 100/10 = 10, d. h. die relative Veränderung zwischen dem Mittelwert und den beiden Werten ist die gleiche. Additiv ergibt sich dasselbe: 50,5-1= 49,5, und 100-50,5 = 49,5.