Log-schaal geeft informatie over relatieve veranderingen (vermenigvuldigend), terwijl lineaire schaal informatie geeft over absolute veranderingen (additief). Wanneer gebruikt u beide? Als je je zorgen maakt over relatieve veranderingen, gebruik dan de log-schaal; als je je zorgen maakt over absolute veranderingen, gebruik dan de lineaire schaal. Dit geldt voor verdelingen, maar ook voor elke grootheid of verandering in grootheden.
Note, ik gebruik het woord “zorg” hier heel specifiek en opzettelijk. Zonder model of doel kan uw vraag niet worden beantwoord; het model of doel bepaalt welke schaal belangrijk is. Als u iets probeert te modelleren, en het mechanisme werkt via een relatieve verandering, dan is de log-schaal van cruciaal belang om het gedrag dat u in uw gegevens ziet te vatten. Maar als het mechanisme van het onderliggende model additief is, zult u lineaire schaal willen gebruiken.
Voorbeeld. Effectenbeurs.
Aandeel A op dag 1: $100$. Op dag 2: $101. Elke aandelen service in de wereld rapporteert deze verandering op twee manieren! (1) +$\$$1. (2) +1%. De eerste is een maatstaf voor absolute, additieve verandering; de tweede een maatstaf voor relatieve verandering.
Illustratie van relatieve verandering versus absolute: Relatieve verandering is hetzelfde, absolute verandering is anders
Aandeel A gaat van $1 naar $1,10. Aandeel B gaat van $100 naar $110.
Aandeel A wint 10%, aandeel B wint 10% (relatieve schaal, gelijk)
….maar aandeel A wint 10 cent, terwijl aandeel B 10 dollar wint (B wint meer in absolute cijfers)
Als we omrekenen naar logruimte, zien we relatieve veranderingen als absolute veranderingen.
Voorraad A gaat van $1,1 naar $1,10 = 0 naar .0413
Voorraad B gaat van $100,1 naar $110 = 2 naar 2.0413
Nemen we nu het absolute verschil in logruimte, dan zien we dat beide met .0413 zijn veranderd.
Beide maten van verandering zijn belangrijk, en welke voor u belangrijk is, hangt uitsluitend af van uw model van beleggen. Er zijn twee modellen. (1) Beleggen met een vast bedrag aan hoofdsom, of (2) beleggen in een vast aantal aandelen.
Model 1: Beleggen met een vast bedrag aan hoofdsom.
Stel dat aandeel A gisteren $$1 per aandeel kostte, en aandeel B $100 per aandeel. Vandaag zijn ze beide met één dollar gestegen tot respectievelijk $2 en $101. Hun absolute verandering is identiek ($1), maar hun relatieve verandering is dramatisch verschillend (100% voor A, 1% voor B). Als je een vast bedrag aan hoofdsom hebt om te beleggen, zeg $100, kun je je maar 1 aandeel B veroorloven of 100 aandelen A. Als je gisteren belegd had, had je $200 bij A, of $101 bij B. Je “geeft” hier dus om de relatieve winst, vooral omdat je een eindig bedrag aan hoofdsom hebt.
Model 2: vast aantal aandelen.
In een ander scenario, stel dat u van uw bank alleen in blokken van 100 aandelen mag kopen, en u hebt besloten te investeren in 100 aandelen A of B. In het vorige geval, of u nu A of B koopt, uw winst zal hetzelfde zijn ($100$$100 – d.w.z. $1 voor elk aandeel).
Nu veronderstellen we dat we de waarde van een aandeel zien als een willekeurige variabele die in de loop van de tijd fluctueert, en we willen een model bedenken dat in het algemeen weergeeft hoe aandelen zich gedragen. En laten we zeggen dat we dit model willen gebruiken om de winst te maximaliseren. We berekenen een kansverdeling waarvan de x-waarden in eenheden van ‘aandelenkoers’ zijn, en de y-waarden in waarschijnlijkheid van het waarnemen van een gegeven aandelenkoers. We doen dit voor aandeel A, en aandeel B. Als u het eerste scenario onderschrijft, waarbij u een vast bedrag aan hoofdsom wilt investeren, dan is het nemen van de log van deze verdelingen informatief. Waarom? Wat je belangrijk vindt is de vorm van de verdeling in de relatieve ruimte. Of een aandeel van 1 naar 10 gaat, of van 10 naar 100 maakt voor jou niet uit, toch? Beide gevallen zijn een 10-voudige relatieve winst. Dit verschijnt natuurlijk in een log-schaal verdeling in die zin dat eenheidswinsten direct overeenkomen met voudige winsten. Voor twee aandelen waarvan de gemiddelde waarde verschillend is, maar waarvan de relatieve verandering identiek verdeeld is (ze hebben dezelfde verdeling van dagelijkse procentuele veranderingen), zullen hun logverdelingen identiek zijn in vorm, enkel verschoven. Omgekeerd zullen hun lineaire verdelingen niet identiek van vorm zijn, waarbij de hoger gewaardeerde verdeling een hogere variantie heeft.
Als u naar deze zelfde verdelingen zou kijken in lineaire, of absolute ruimte, zou u denken dat hoger gewaardeerde aandelenkoersen overeenkomen met grotere schommelingen. Voor uw beleggingsdoeleinden, waar alleen relatieve winsten van belang zijn, is dit echter niet noodzakelijkerwijs waar.
Voorbeeld 2. Chemische reacties.Stel dat we twee moleculen A en B hebben die een omkeerbare reactie ondergaan.
$A-linksrechtsarrow B$
die wordt bepaald door de afzonderlijke snelheidsconstanten
($k_{ab}$) $A-rechtsarrow B$($k_{ba}$) $B-rechtsarrow A$
Hun evenwicht wordt bepaald door de relatie:
$K=\frac{k_{ab}{k_{ba}}=\frac{}{}$
Twee punten hier. (1) Dit is een vermenigvuldigend verband tussen de concentraties van $A$ en $B$. (2) Deze relatie is niet willekeurig, maar vloeit rechtstreeks voort uit de fundamentele fysisch-chemische eigenschappen die bepalen dat moleculen tegen elkaar botsen en reageren.
Nu veronderstellen we dat we een of andere verdeling van de concentratie van A of B hebben. De juiste schaal van die verdeling is in log-ruimte, omdat het model van hoe een van beide concentraties verandert multiplicatief is gedefinieerd (het product van A’s concentratie met het omgekeerde van B’s concentratie). In een ander universum waar $K^*=k_{ab}-k_{ba}=-$, zouden we deze concentratieverdeling in absolute, lineaire ruimte kunnen bekijken.
Dit gezegd zijnde, als je een model hebt, of het nu voor beursvoorspelling of chemische kinetica is, kun je altijd ‘lossless’ interconverteren tussen lineaire en log-ruimte, zolang je waardenbereik $(0,\inf)$ is. Of je ervoor kiest om naar de lineaire of log-verdeling te kijken, hangt af van wat je uit de gegevens probeert te halen.
EDIT. Een interessante parallel die mij heeft geholpen intuïtie op te bouwen, is het voorbeeld van rekenkundige gemiddelden versus meetkundige gemiddelden. Een rekenkundig (vanille) gemiddelde berekent het gemiddelde van getallen, uitgaande van een verborgen model waarin absolute verschillen van belang zijn. Voorbeeld. Het rekenkundig gemiddelde van 1 en 100 is 50,5. Maar stel dat we het hebben over concentraties, waarbij de chemische relatie tussen concentraties vermenigvuldigend is. Dan moet de gemiddelde concentratie eigenlijk berekend worden op de log-schaal. Dit wordt het meetkundig gemiddelde genoemd. Het meetkundig gemiddelde van 1 en 100 is 10! In termen van relatieve verschillen is dit logisch: 10/1 = 10, en 100/10 = 10, d.w.z. dat de relatieve verandering tussen het gemiddelde en twee waarden gelijk is. Additief vinden we hetzelfde; 50,5-1= 49,5, en 100-50,5 = 49,5.